Алгоритм графического метода решения задачи лп

1.Построить область допустимых решений (ДР).

2. Если область ДР – пустое множество, то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.

3. Если область ДР является непустым множеством, строим нормаль линий уровня и одну из линий.

4. Перемещаем линию уровня до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, а в задаче на минимум - в противоположном направлении.

5. Если при перемещении линии уровня по области ДР в направлении, соответствующем приближению к экстремуму, линии уровня уходят в бесконечность, то задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.

6. Если задача ЛП имеет оптимальное решение, то для его нахождения необходимо решить совместно уравнения прямых, ограничивающих область ДР и имеющих общие точки с соответствующей опорной прямой.

7. Если целевая функция достигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек, т.е. если целевая функция достигает экстремума в двух угловых точках (A и B), то множество решений может быть записано следующим образом:

Пример. Решить задачу линейного программирования.

Множество X допустимых решений представляет собой многоугольник ABDEF.

Рис.4. Множество X допустимых решений

Выбираем начальную точку x⁰=(1,1) X. при этом f(x⁰)=2. Для нахождения максимума целевой функции строим начальную линию уровня x₁+x₂=2 и перемещаем её в направлении вектора c(1,1) (вектора нормали к целевой функции). Прямая, проходящая через точку D, будет опорной для множества X. Точка D является оптимальным решением задачи на максимум. Определим координаты точки D:

Для нахождения минимума целевой функции необходимо перемещать начальную линию уровня x₁+x₂=2 в направлении вектора -c=(-1,-1). Предельным (опорным) положением будет прямая, проходящая через вершины A=(0,1) и F=(1,0). В этом случае множество оптимальных решений представляет собой отрезок [A,F] и имеет вид:

,т.е.

.

Тема 6. Каноническая форма задач линейного программирования

Будем считать, что задача линейного программирования записана в канонической форме, если её целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств с неотрицательной правой частью, и все переменные неотрицательны.

Задача ЛП в канонической форме имеет вид

(1)

Если задача ЛП представлена моделью

Чтобы привести задачу к каноническому виду необходимо к левой части ограничений добавить неотрицательные переменные . Эти переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами, чтобы не изменить её значение.

Переменные x_n+1,x_n+1,x…x_n+m. называются дополнительными или балансовыми.

Тема 6.1 Базисные решения задачи линейного программирования

В ограничениях задачи ЛП, приведенной к каноническому виду (1) все переменные можно разделить на две группы. Первая группа – основные (зависимые) переменные, число которых должно быть равно числу линейно независимых уравнений m, вторая – неосновные (независимые) переменные, число которых равно n-m. (Такое разделение не связывается с индексами переменных).

Опорным решением задачи ЛП называется такое допустимое решение X=(x_1o,x_2o,…x_mo,0,0,…0) (x_1o - x_{1oпорное}), для которого векторы условий (столбцы коэффициентов при неизвестных в системе ограничений) - А₁, А₂, :::А_m, соответствующие положительным координатам, линейно независимы. Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга r системы векторов условий (т.е. числа линейно независимых уравнений системы ограничений). Будем полагать, что система ограничений состоит из линейно независимых уравнений, т.е. r=m.

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно m, то решение называется невырожденным, в противном случае (меньше m)- вырожденным.

Будем считать, что ограничения задачи (1), записанной в канонической форме, путем последовательных элементарных преобразований могут быть приведены к виду:

(2)

В системе (2) коэффициенты при каждом неизвестном образуют единичные векторы.

Совокупность единичных векторов E₁,E₂,…E_m образуют базис m- мерного пространства, а переменные x₁,x₂,..x_m называются базисными. Переменная является базисной, если она входит только в одно из уравнений с коэффициентом, равным 1. Все остальные переменные являются небазисными. Частное решение, полученное приравниванием небазисных переменных нулю и нахождение значений базисных переменных, называется базисным решением.

Следовательно, если , то .

Первое решение задачи, полученное таким образом, называется исходным базисным решением.

Опорное решение – это базисное решение, в котором ненулевые компоненты положительны.

.