Метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных

Получим решение, удовлетворяющее в некотором смысле всей совокупности экспериментальных данных.

При этом не будем стремиться, чтобы решение удовлетворяло точно всем экспериментальным точкам (к тому же в рамках рассмотренной простой модели всего с двумя свободными параметрами это невозможно по алгебраическим соображениям).

Значение неизвестных параметров N₀ и К будем определять, исходя из минимизации суммы квадратов невязок между экспериментальными данными n_i и значениями n_i , определяемыми по модели (1).

Этот метод называется методом наименьших квадратов.

Он позволяет разрешить в алгебраическом смысле переопределенную систему, когда число уравнений (наблюдений) превышает число переменных.

В результате использования метода наименьших квадратов получается «решение», удовлетворяющее всем наблюденным значениям в смысле минимизации суммы квадратов отклонений решения от наблюденных значений.

При этом структура решения (структура модели 1) должна быть известна и введена в систему соотношений метода.

Необходимые соотношения для определения параметров модели Джелинского – Моранды

Запишем сумму квадратов невязок

Найдем значение N₀ и К, при которых эта сумма имеет минимум

Отсюда следует, что

Но из (2) следует, что первое слагаемое равно 0.

Окончательно получим уравнение, которое совместно с (2) образует систему 2-х уравнений с двумя неизвестными N₀ и К.

Выразим из 1-го уравнения N₀, суммируя по частям и вынося постоянные, не зависящие от индекса i, за знак суммы

Подставляя это выражение во второе уравнение, имеем

О тсюда

Из данного трансцендентного уравнения относительно только одного неизвестного К численным методом можно определить К. Сначала зададимся нулевым приближением параметра К и вычислим левую и правую часть уравнения (4). Они наверняка не совпадут. Это означает, что нулевое приближение не является корнем данного уравнения. Возьмем другое значение К, отличающееся на К. Если мы удачно выбрали знак К , то значения левой и правой части уравнения 4 сблизятся. Далее, изменяя К добъемся того, чтобы левая и правая часть равенства были бы равны друг другу с очень малой погрешностью, например, 0,0001. Это значение К и примем за корень уравнения(4).

Подставляя определенное значение К в (3), можно определить N₀.

Модель Джелинского – Моранды дает дробное, а не целое начальное число ошибок Nо. Число оставшихся ошибок по данной модели никогда не будет равно строгому 0. В этом ее недостатки, с которыми приходится мириться. Зато модель проста и понятна.

Обычно принимают соглашение, что нулевому количеству оставшихся ошибок в ПО соответствует значение, например, 0.01 по данной модели Джелинского – Моранды.

Следует подчеркнуть, что в реальных ситуациях отладки ПО она считается завершенной по исчерпанию программы отладки, составленной исходя из выбранных критериев, например, накрытию всех путей на графе ПО.

Определения надежности ПО по модели Джелинского-Моранды является дополнительным методом, подтверждающим достигнутую надежность ПО – малую интенсивность проявления ошибок ПО.

Содержание работ

Работа N5.

Составление программы для определения с помощью МНК среднего числа начального количества ошибок и среднего числа оставшихся ошибок в ПО по заданным данным случайного изменения во времени числа обнаруженных ошибок

Необходимо составить программу для определения среднего числа начального количества ошибок и среднего числа оставшихся ошибок в ПО по модели Джелинского-Моранды методом наименьших квадратов (МНК) по наблюдениям за числом проявившихся в процессе отладки ошибок и времени их обнаружения. Эти данные приводятся в индивидуальном задании к работе. Определить параметры модели No и К численной процедурой.

Построить график изменения числа обнаруженных ошибок во времени по модели надежности ПО Джелинского - Моранды и по исходным данным наблюдений за проявлением ошибок в ПО с экстраполяцией результатов за интервал наблюдения.

Определить момент времени завершения отладки .

Работа N6

Составление программы определения с помощью МНК параметров линейной интерполяции изменений случайного числа обнаруженных ошибок по данным лабораторной работы №5. Сравнение результатов работ №5 и №6 , выводы.

Построить график прогнозируемого числа ошибок с экстраполяцией за интервал наблюдения по тем же исходным данным, что в работе 5 при использовании их в линейной интерполяции МНК по уравнению

у=а+вх,

где а и в неизвестные параметры, подлежащие определению по экспериментальным данным.

Сравнить с результатами работы N5 и дать пояснения.

Определить значения коэффициентов аппроксимирующей прямой а и в.