2. Термомеханическая эксергия идеального газа .

Для расчета термомеханической эксергии в случае идеального газа применим уравнение (4-4)

А_полезн = Е_т = Q₁-Q₂ = dU_в-во p₀dV_в-во + Т₀dS_в-во, (4-4)

когда с_v = const

E_T = c_v( TT₀) + T₀(c_pln + Rln )  p₀(V₀-V) =

= c_v( TT₀)  T₀c_pln + RT₀ln  =

= c_v(T-T₀)  T₀c_pln + RT₀ln  RT₀ + RT .

Добавим и вычтем RT и сгруппируем слагаемые в следующем порядке:

c_vT + RT  c_vT₀  RT₀ +  RT и учтем, что c_p = c_v + R

E_т = c_p( TT₀)  c_pT₀ ln + RT₀ ln 

Итого, для идеального газа можно записать:

, (4-5)

или через с_v :

, (4-6)

Эти выражения для термомеханической составляющей эксергии идеального газа могут быть получены другими независимыми способами.

2. Доказательство “ бесполезности “ работы проталкивания против внешнего атмосферного давления на примере расширения

идеального газа при Т=Т₀.

Рассмотрим обратимое изотермическое расширение идеального газа. Для этого представим сосуд с поршнем ( рис. 4.1 ), в котором находится газ при давлении p. Это давление создается при помощи груза переменной массы на поршне (например, песок). Снимая по одной песчинке с поршня, мы располагаем ее на высоте поднятия поршня h. Таким образом обеспечивается условие обратимости процесса ( так как масса песчинки пренебрежимо мала и р_внутр= р_внешн, поэтому появляется возможность оценить полезную работу расширения через потенциальную энергию

снятого груза.

Рис. 4.1: Устройство для обратимого расширения идеального газа.

На рис. 4.2. изображено распределение массы груза по высоте. При снятии всего груза с массой m₀ поршень достигнет высоты h^*. Можно записать

Р_внеш = р_атм + ,

где m  масса груза на поршне, если поршень поднялся на высоту h;

S  площадь поперечного сечения поршня.

Рис. 4.2: Распределение массы снимаемого груза по высоте h

из уравнения( 4-7 )

Если расширение поршня обратимое , то Р_внеш = р_газ или

Отсюда

.

При изменении высоты поднятия поршня от h до h+dh с поршня снимается груз

, ( 4-7 )

причем dm величина положительная. Потенциальная энергия груза массой dm на высоте h равна

или

Общая потенциальная энергия груза в интервале высот от 0 до h* равна

Таким образом , из общей работы расширения в потенциальную, а значит и любую другую энергию, может быть преобразована только часть не связанная с работой проталкивания против внешнего давления

.

2. Уравнение для расчета термомеханической эксергии идеального газа на основе различных процессов.

Из уравнения (4-4) следует, что эксергия является функцией состояния.

Проверка этого утверждения представляет особый интерес в связи с тем, что возможность совершения работы как за счет разности температур, так и за счет разности давлений является ограниченной: и в том и в другом случаях часть работы является бесполезной. Приведенный ниже вывод позволяет проследить учет всех этих особенностей и проверить правильность утверждения независимости величины эксетгии от пути процесса. Для этого в рассмотренных ниже случаях выражение для эксергии сводится к одному из равнозначных выражений (4-5) и (4-6).

При выводе уравнений использованы процессы охлаждения и расширения газа при различных условиях. Однако, так как рассматриваются обратимые процессы , то можно использовать нагревание и сжатие. Поэтому под терминами охлаждение и расширение можно понимать изменение температуры и давления в обе стороны по отношению к и .

 ( i ) T T₀ при V= const; ( ii ) p p₀ при Т= const. Охлаждение газа при постоянном объеме до температуры Т₀, а затем изотермическое расширение до давления р₀.

Максимальная работа при охлаждении (V= const) может быть получена тепловой машиной Карно

На основании закона сохранения энергии . Кроме того,

и . Отсюда

Максимальная работа при расширении равна за вычетом работы изменения объема газа против давления окружающей среды , то есть

.

Окончательно,

или с учетом и получим уравнение (7-6)

 ( i ) T T₀ при p= const; ( ii ) p p₀ при Т= const. Газ охлаждается при постоянном давлении до температуры Т₀, при этом он занимает объем V^*=Т₀V/T, а затем изотермически расширяется до давления р₀.

При обратимом охлаждении тепловая машина Карно совершает работу .Однако при охлаждении газ необратимо удерживать при p= const, то есть затрачивать работу на сжатие газа от объема V до V^* при постоянном давлении р.

Эту работу должен совершать дополнительный независимый источник эксергии. Работа изменения объема против постоянного давления окружающей среды или работа проталкивания

Максимальная полезная работа газа при охлаждении

Максимальная полезная работа газа при расширении

Окончательно

С учетом равенства получим

=

= =

,

что соответствует уравнению ( 7-5).

 ( i ) T T₀ адиабатически; ( ii ) p p₀ при Т= const. Газ в результате обратимости адиабатического расширения охлаждается до температуры Т₀, а затем расширяется изотермически до давления р₀.