Основні характеристики біноміального закону розподілу:

Математичне сподівання:

;

Дисперсія:

;

С.К.В:

;

Коефіцієнт варіації:

.

Біноміальний закон розподілу застосовують при статистичному контролі якості, коли є мало даних про поведінку виробів, а їх необхідно класифікувати на придатні і браковані.

Закон Пуассона має місце в тих випадках коли на декотрому інтервалі часу τ випадкова подія з´являється багато разів, але з малою імовірністю Р_n (τ). Імовірність виникнення на інтервалі часу τ є математичним виразом розподілу Пуассона у вигляді :

;

де - інтенсивність випадкової події, декотра додатня величина, яка називається параметром закона Пуассона. Величина n може приймати тільки цілі значення.

Основні характеристики розподілу Пуассона:

Математичне сподівання:

;

Дисперсія:

;

С.К.В:

Коефіцієнт варіації:

Характерною ознакою розподілу Пуассона є рівність математичного сподівання та дисперсії М(n)=σ²(n).

Розподіл Пуассона визначається, як граничний випадок біноміального розподілу, коли ймовірність р зменшується до нуля ( відповідно q=1-р 1).

Біноміальний розподіл застосовується в принципі для любого р, а розподіл Пуассона – тільки для малого р.

Експоненціальний закон розподілу неперервної величини (випадкової) Х характеризується тим, що ймовірність того, що Х>х, завжди виконується.

Розподіл випадкової величини Х називається експоненціальним, якщо щільність розподілу f(x) має вигляд:

;

де λ – інтенсивність випадкової події – постійна величина (λ=const)

Функція розподілу відповідно записується:

;

Основні характеристики експоненціального закону наступні:

Математичне сподівання:

= ;

Дисперсія:

;

С.К.В.:

;

Коефіцієнт варіації:

Експоненціальний закон використовують при оцінці надійності складних систем, відмови яких зумовлені великою кількістю комплектуючих елементів, що входять в їх склад. Його застосовують при дослідженні часу наробки на відмову неремонтуємих виробів.

Закон Вейбулла характеризує розподіл неперервної випадкової величини , яка може приймати тільки додатні значення ( ). Щільність розподілу f( ) в законі Вейбулла має наступний вигляд:

;

де і - параметри розподілу закону Вейбулла – постійні величини ( =const; =const ); для кожного класу виробів вони мають визначені значення.

Функція розподілу має вигляд:

Основні характеристики закону Вейбулла:

Математичне сподівання:

;

Дисперсія:

;

С.к.в.:

;

Коефіцієнт варіації:

;

де величини і відповідно дорівнюють:

;

;

Г – гамма функція.

При =1 розподіл Вейбулла перетворюється в експоненціальний. Розподіл використовують при оцінці надійності виробів в період їх приробки, а також при зносі та старінні.

Загальний нормальний розподіл неперервної випадкової величини характеризується тим, що Х може при цьому приймати будь-які значення .

Його щільність розподілу має вигляд:

;

де і постійні величини параметри закону розподілу, причому величина додатня, - може бути додатньою, від’ємною і дорівнювати нулю.

Основні характеристики нормального розподілу:

Математичне сподівання:

;

Дисперсія:

;

С.к.в.:

;

Коефіцієнт варіації:

;

Це найбільш часто зустрічається на практиці закон розподілу. Його використовують, коли випадкова величина залежить від великої кількості випадкових факторів, однорідних по своєму впливу, причому вплив кожного з них порівняно із всією сукупністю незначний. Цим законом розподілу добре описуються оцінки надійності виробів в процесі їх зносу і природнього старіння, його застосовують для визначення часу наробки до відмови. Цей закон розподілу називають граничним із-за того, що до нього наближаються інші закони розподілу ( і їх композиції ). Наприклад, при достатньо великому значенні математичного сподівання, біноміальний розподіл близький до нормального.

Логарифмічний нормальний розподіл неперервної додатньої величини має місце, якщо її десятковий логарифм розподілений по нормальному закону. Щільність розподілу величини буде:

;

де , , - відповідно математичне сподівання, с.к.в. та дисперсія випадкової величини ; .

Основні характеристики логарифмічного нормального розподілу наступні:

Математичне сподівання:

, де

Дисперсія:

;

С.к.в.

;

Коефіцієнт варіації:

.

Логарифмічно нормальний розподіл використовується, як правило при оцінці відмов із-за зносу. В тих випадках, коли відмова виникає із-за „втомлених” пошкоджень, наробка до відмови часто підкоряється цьому розподілу.