Где в1 и в2 – индукции, создаваемые в искомой точке а каждым из двух длинных проводников.
РЕШЕНИЕ.
Индукции
и
созданы прямыми бесконечными токами,
поэтому
,
где х – расстояние от А до первого проводника; (а – х) – расстояние от точки А до второго проводника.
В результате
.
Подставим значение
В в формулу (2.6.6), учитывая, что
.
.
Индуктивность
системы, приходящаяся на 1 м длины,
.
Правильность формулы по размерности очевидна.
Подставив значения,
получаем:
Гн/м.
Энергия, приходящаяся
на метр длины, равна
.
Правильность формулы по размерности очевидна.
Подставив
значения, получаем:
Дж/м.
ОТВЕТ: L
= 1,0510–6
Гн/м;
.
ЗАДАЧА 6. На полый
картонный цилиндр длиной
см и диаметром D = 3 см
навита в два ряда медная проволока
диаметром d0 = 1
мм. Полученная таким образом катушка
подключена к гальваническому элементу,
ЭДС которого
В (рис. 2.6.5). Через какое время
после перевода ключа из положения 1 в
положение 2 сила тока в катушке уменьшится
в 1000 раз? Какое количество джоулевой
теплоты выделится за это время? Чему
равна магнитная энергия катушки до
переключения?
Оммм2/м.
ДАНО:
D = 0,03 м d0 = 0,001 м В n = 1000
|
– ? Q – ? W0 – ? |
м
Омм2/м2
Рис. 2.6.5
АНАЛИЗ. Ток в катушке исчезает не мгновенно, а постепенно уменьшается до нуля, т. к. в цепи действует ЭДС самоиндукции. При этом на омическом сопротивлении по закону Джоуля-Ленца выделяется теплота, количество которой за все время прохождения тока после отключения источника равно магнитной энергии катушки до отключения источника. Записав закон Ома и приняв во внимание, что действующая в цепи ЭДС есть ЭДС самоиндукции, получим дифференциальное уравнение относительно силы тока. Решив это уравнение, найдем время, за которое произойдет заданное уменьшение тока.
РЕШЕНИЕ. По закону Ома
.
Учитывая, что
,
получим
.
После разделения
переменных, имеем
.
Произведя интегрирование по времени и
по току
,
получаем
.
(2.6.7)
Выразим время
.
(2.6.8)
Проверим размерность:
.
Найдем индуктивность L и сопротивление R катушки, рассматривая ее как бесконечно длинный соленоид,
,
(2.6.9)
где N
– полное число витков,
и
– соответственно поперечное сечение
и длина катушки. Полное число витков
равно
.
Подставим N и Sк
в формулу (2.6.9), получим
.
Проверим размерность:
.
Подставив значения,
получаем:
Гн.
Сопротивление
обмотки
,
где
– длина обмотки,
– поперечное сечение проводника. Отсюда
.
Проверим размерность:
.
Подставив значения,
получаем:
Ом.
Учитывая, что
,
из формулы (2.6.8) получаем время
с.
Потенцируя (2.6.7),
имеем
– закон изменения тока.
Количество джоулевой теплоты, выделившейся на сопротивление R за время , равно
,
или
.
(2.6.10)
Правильность формулы по размерности очевидна.
Начальная магнитная энергия катушки определяется по формуле
.
Правильность формулы по размерности очевидна.
Подставив значения,
получаем:
Дж.
При подсчете
величины
согласно (2.6.10) оказывается, что вычитаемое,
стоящее в скобках, составляет величину
10–6. Это
значит, что за время
с
вся магнитная энергия катушки превратилась
в джоулевую теплоту.
ОТВЕТ:
с;
=
4,410–4 Дж;
Дж.