
2.6. Электромагнитная индукция
2.6.1. Краткие теоретические сведения
Работа перемещения проводника с током в магнитном поле ,
где
– магнитный поток, пересеченный
проводником при его движении.
Величина
ЭДС индукции в контуре, пронизываемом потоком, определяется
законом Фарадея
.
ЭДС индукции в проводе длиною
, движущемся в магнитном поле со скоростью
равна
если направления
и
взаимно перпендикулярны.
Количество индуцированного электричества в контуре с сопротивлением R при изменении пронизывающего его потока на
равно
.
ЭДС самоиндукции определяется формулой:
,
где L – индуктивность (коэффициент самоиндуктивности контура).
Индуктивность контура определяется по формуле:
,
где
– потокосцепление (полный поток).
Индуктивность длинного соленоида равна
,
где – длина соленоида, S – площадь его поперечного сечения,
–
число витков на
единицу длины,
– объем соленоида.
Взаимная индуктивность двух соленоидов, пронизываемых общим магнитным потоком, равна
,
где п1 и п2 – число витков на единицу длины этих соленоидов.
Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L, определяется формулами:
при замыкании цепи
,
где t – время, прошедшее после замыкания цепи;
при размыкании цепи
,
где
–
сила тока в цепи в момент времени t
= 0, t – время, прошедшее
с момента размыкания цепи.
Магнитная энергия контура с током (энергия магнитного поля) равна
.
Объемная плотность энергии
магнитного поля (энергия, заключенная в единице объема):
,
или
,
или
.
Уравнение Максвелла в интегральной форме
,
,
,
.
2.6.2. Примеры решения задач
ЗАДАЧА 1. Виток,
по которому течет ток I
= 20 А, свободно установился в однородном
магнитном поле с индукцией В = 16 мТл.
Диаметр витка d =
10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы
медленно повернуть виток на угол
относительно оси, совпадающей с диаметром?
ДАНО: I = 20 А B = 1610–3 Тл d = 0,1 м
|
A – ? |


Работа внешних
сил равна
.
Поле однородно,
,
следовательно, для определения магнитного
потока Ф необходимо знать угол
между нормалью к витку и вектором
в начальном и конечном положениях.
РЕШЕНИЕ. В начальном
положении (рис. 2.6.1 а) виток находится в
состоянии устойчивого равновесия, и
момент
внешних сил равен нулю
,
,
,
.
Вектор магнитного
момента витка
сонаправлен с вектором
,
и поток Ф1 максимален
.
В положении 2 (рис.
2.6.1 б)
и Ф2 = 0.
Поэтому
.
Правильность формулы по размерности очевидна.
Подставив значения,
получаем:
мДж.
Рис. 2.6.1
ОТВЕТ:
мДж.
ЗАДАЧА 2. В плоскости,
перпендикулярной линиям индукции
однородного магнитного поля, расположен
проволочный квадрат со стороной а =
4 см. Проволочная перемычка, параллельная
двум сторонам квадрата, делит две его
другие стороны в отношении 1:3 (рис.
2.6.2). Все проводники выполнены из
одинаковой проволоки, для которой
отношение сопротивления к длине равно
Ом/м. Найти силы токов, индуцируемых во
всех проводниках при изменении индукции
магнитного поля по линейному закону от
В1 = 510–3
Тл до В2 = 8,410–3
Тл в течение времени
с.
ДАНО: a = 0,04 м АС:СМ = 1:3
В1 = 510–3 Тл В2 = 8,410–3 Тл
с |
I1; I2; I – ? |

,
(2.6.1)
Рис.
2.6.2
Уравнение (2.6.1)
позволяет определить ЭДС в контурах
ACDKA и CMNDC,
и, воспользовавшись законами Кирхгофа,
найти токи участков ACDKA
–
,
CMNDC –
,
СD – I.
РЕШЕНИЕ. При
направлении магнитного поля, показанном
на рис. 2.6.2, токи
и
,
согласно правилу Ленца, направлены
против часовой стрелки. Направление
тока
в проводнике
неизвестно. Выберем это направление,
как показано на рис. 2.6.2.
Рассмотрим контур
.
Магнитное поле однородно и меняется по
закону
,
где
.
Если положительную
нормаль к поверхности контура направить
против вектора
,
то угол между ними
и правая часть выражения (2.6.1) имеет вид
.
Тогда ЭДС в контуре
.
Для контура
аналогично получаем
.
По первому правилу
Кирхгофа для узла С имеем
,
по второму правилу
для контура
,
для контура
,
где
;
.
Отсюда
.
Проверим размерность:
.
Подставив значения,
получаем
.
Направление тока
соответствует выбранному при решении
задачи.
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА 3. Две
катушки, индуктивности которых
мГн,
мГн, соединены последовательно (рис.
2.6.3). При этом индуктивность системы
мГн. Как изменится индуктивность системы,
если в одной из катушек направление
тока изменить на противоположное при
неизменном взаимном расположении
катушек?
ДАНО: L1 = 310–3 Гн L2 = 510–3 Гн L0 = 1110–3 Гн |
L0 – ? |
Индуктивность
системы определяется потокосцеплением:
;
катушки соединены
последовательно, поэтому токи
в них одинаковы. Суммарный магнитный
поток равен алгебраической сумме
потоков, пронизывающих все витки катушки.
Все витки первой катушки пронизываются
собственным потоком
и потоком
,
созданным второй катушкой. Вторая
катушка пронизывается также собственным
потоком
и потоком
,
созданным первой катушкой.
Таким образом,
.
Собственные потоки
положительны и равны соответственно
.
а)
б) Рис.
2.6.3
.
РЕШЕНИЕ. Так как катушки соединены последовательно,
.
Смысл знаков определяется характером соединения и расположения катушек. Если поля катушек сонаправлены и потоки положительны (1 случай), то
.
Во втором случае поля катушек направлены навстречу друг другу, и «чужие» потоки отрицательны
.
Общая индуктивность равна:
в первом случае
;
во втором случае
,
Складывая эти выражения, получим
.
Отсюда
.
Правильность
формулы по размерности очевидна.
Подставив значения, получаем
мГн.
ОТВЕТ: мГн.
ЗАДАЧА 4. Телевизионный
кабель состоит из двух проводов, один
из которых (внутренний) является сплошным
цилиндром, а второй (внешний) – полым
цилиндром, оси их совпадают. Диаметр
первого провода
мм, второго –
мм. Определить коэффициент самоиндукции,
приходящийся на единицу длины этого
кабеля.
ДАНО: d1 = 0,310–3 м d2 = 0,810–3 м
|
L – ? |
Для определения коэффициента самоиндукции целесообразно воспользоваться выражениями для энергии магнитного поля.
РЕШЕНИЕ.
Энергия магнитного
поля, приходящаяся на единицу длины
кабеля
,
(2.6.2)
где
– индуктивность, приходящаяся на единицу
длины.
Подставим
и объем
в формулу для энергии, получаем
.
(2.6.3)
Для прямолинейного
тока
.
(2.6.4)
Подставим
(2.6.4) в (2.6.3)
,
(2.6.5)
Сравнивая (2.6.3) и (2.6.5), получаем
.
Правильность
формулы по размерности очевидна.
Подставив значения, получаем
Гн/м.
ОТВЕТ:
Гн/м.
ЗАДАЧА 5. Длинный
проводник радиусом
мм согнут пополам так, что расстояние
между осями его половинок а = 3 см.
Пренебрегая полем внутри проводника,
рассчитать индуктивность системы и ее
энергию на каждый метр длины при токе
А (рис. 2.6.4).
ДАНО: r0 = 210–3 м a = 0,03 м I = 3 А |
L – ?
|


Рис.
2.6.4
Магнитный поток
равен
.
(2.6.6)
Индукцию результирующего поля вычислим, считая, что проводник достаточно длинный и можно пренебречь полями токов в подводящих проводах и горизонтальной части проводникаВ = В1+В2,