191

2. Электромагнетизм

2.1. Электростатическое поле в вакууме

2.1.1. Краткие теоретические сведения и методические указания к решению задач

1. По закону Кулона сила, действующая между двумя точечными зарядами q₁ и q₂ равна

где r – расстояние между зарядами, ε₀ – электрическая постоянная, равная 8,8510^-12 Ф/м.

2. Напряжённость и потенциал

• электрического поля определяются соответственно формулами: ,

где – сила, действующая на пробный положительный заряд q, помещенный в данную точку поля,

W_Р – потенциальная энергия положительного точечного пробного заряда q.

• поля, создаваемого точечным зарядом, соответственно равныE = q/(4π ε₀ r²) ; φ = q/(4π ε₀ r),

где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряжённость поля и потенциал.

• поля, создаваемые системой зарядов, согласно принципу суперпозиции полей соответственно равны ,

где и – напряжённость и потенциал, создаваемые в данной точке поля i-тым зарядом.

• поля точечного диполя с электрическим моментом находятся по формулам

где θ – угол между электрическим моментом диполя и

радиус-вектором , проведенным в точку, для которой ведутся расчеты.

• поля, создаваемого непрерывно распределённым по длине (площади S, объему V) зарядом Q, выделяется малый заряд dQ, который можно рассматривать как точечный.

Напряженность и потенциал dφ поля, создаваемого зарядом dQ, определяются формулами: ,

где – радиус-вектор, направленный от выделенного элемента длиной (площади S, объема V) к точке, в которой вычисляется напряженность.

Величина заряда dQ определяется по формулам:

, если заряд распределён равномерно вдоль линии с линейной плотностью τ;

, если заряд распределён равномерно по поверхности S с поверхностной плотностью ;

, если заряд распределён равномерно в объёме V с объёмной плотностью ρ.

• поля, создаваемого непрерывно распределённым зарядом, далее определяется с использованием принципа суперпозиции электрических полей:

• поля заряженной сферической поверхности с зарядом Q и радиусом R равны

где Q – заряд сферы.

• поля равномерно объемно-заряженного шара радиусом R равна:

• поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

определяются формулами:

3. Напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечно длинной нитью, равна:

4. По теореме Гаусса поток n вектора напряжённости сквозь любую замкнутую поверхность в вакууме равен суммарному заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на :

где ∑q_i – алгебраическая сумма зарядов, находящихся внутри этой поверхности. При помощи теоремы Гаусса можно найти напряжённость электрического поля, создаваемого заряженными телами, если заряд распределён на них симметрично.

Теорема Гаусса в дифференциальной форме позволяет найти объёмную плотность зарядов ρ(x, y, z) по известной величине напряжённости поля , а для одномерного случая – решить и обратную задачу.

Теорема Гаусса для вакуума в дифференциальной форме имеет вид: ,

где – дивергенция вектора , определяемая по формуле

5. Для потенциальных полей циркуляция и ротор равны нулю.

Следовательно, для электростатического поля выполняются условия: ,

где – ротор вектора ;

6. Связь между напряженностью и потенциалом выражается формулой

где – градиент потенциала,

7. Уравнение Пуассона связывает потенциал поля с величиной объёмной плотности заряда

,

где – оператор Лапласа.

• Для поля, обладающего центральной или осевой симметрией, ;

• для однородного поля

где d – расстояние между точками поля с потенциалами ₁ и ₂ .

17. Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом ₁ в точку с потенциалом ₂ равна:

.

18. Энергия диполя W во внешнем электрическом поле и момент сил, действующих на диполь, соответственно равны: