5.6. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси (рис.5.17). Линейная скорость элементарной массы равна , где - расстояние массы до оси . Кинетическая энергия этой элементарной массы

К инетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех его частиц

Сумма в правой части этого равенства есть момент инерции тела относительно оси . Тогда

Если на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (рис.5.13), то работа этих сил за время равна

Преобразовав, получаем

(5.8)

Очевидно, - момент внутренней силы относительно точки О, - момент внешней силы. Просуммировав равенство (5.8) по всем элементарным массам, получим работу, совершенную над телом за время :

Сумма моментов всех внутренних сил равна нулю, тогда работа

Знак работы зависит от знака , т.е. от знака проекции вектора момента силы на ось вращения.

Эта работа идет на приращение кинетической энергии, поэтому

.

5.7. Кинетическая энергия при плоском движении

Плоское движение может быть представлено как наложение двух движений – поступательного со скоростью центра масс и вращательного вокруг некоторой оси с угловой скоростью . Скорость -той элементарной массы равна

,

где - радиус-вектор элементарной массы, проведенный из оси вращения. Кинетическая энергия -той массы равна

. (5.8)

Ясно, что , где - расстояние от массы до оси вращения, тогда

и . Просуммировав выражение (5.8) по всем точкам, имеем

.

Здесь - радиус-вектор центра масс, проведенный из оси вращения, - момент инерции тела. Тогда

.

Если ось вращения проходит через центр масс, и

, (5.9)

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

5.8. Условия равновесия твердого тела

Тело может оставаться в состоянии покоя в том случае, когда нет причин, приводящий к возникновения поступательного движения или вращения. Для этого необходимо выполнение двух условий:

1. сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю:

, (5.10)

2. Результирующий момент всех внешних сил относительно любой неподвижной оси должен быть равен нулю:

. (5.11)

Практически оказывается достаточным, чтобы условие (5.11) выполнялось для трез любых неподвижных осей, не лежащих в одной плоскости. Тогда оно будет выполняться для любой оси.

Соотношения (5.10) и (5.11) являются условиями равновесия твердого тела.