Виды погрешностей. Средняя квадратическая погрешность.
Видыпогрешностей.Практическивсегдапогрешностьвключаетвсебядве составляющие ее части:систематическую и случайную.
Δa=Δaсист+Δaслуч.
Систематическойназываетсяпогрешность,котораявданныхусловияхсохраняетпостоянноезначение(илиизменяется,нопоизвестномузакону).
Такиепогрешностивызваныпостояннодействующимипричинами,врезультатечегоприизмерениимыкаждыйраз«ошибаемся»наоднуитужевеличину.Оченьчастотакиепогрешностивызванынеточнымизготовлениемприбора(инструментальныепогрешности),илипостояннымвнешнимфактором.Например,собственноемагнитноеполесамолетавызываетпогрешностьизмерениямагнитногокурса(девиацию),котораянакаждомкурсе имеет вполне определенное значение.
Систематическиепогрешности,посколькуониодинаковыприкаждомизмерении,можноодинраз определить спомощью болееточныхприборов, азатемисключатьихизрезультатовизмеренийпутемвводапоправок.
Систематическиепогрешностинедоставляютособыххлопотпринавигации,посколькупослеихустраненияониужеотсутствуют.Поэтомудалеебудемсчитать, чтосистематические погрешности отсутствуют (уже учтены).
Случайнаяпогрешностьприкаждомизмерениипринимаетразноезначение, причем заранее неизвестнокакоеименно.
Авотслучайныепогрешностивпринципеустранитьнельзя,посколькуониприкаждомизмеренииразличны.Ионивсегдаостаютсянеизвестными.
Определитьчисленныезначенияслучайныхпогрешностейневозможно,однакопилотпостояннодолжениметьввиду,чтоэтипогрешностисуществуютииметьпредставлениеобихвозможныхзначениях.Наличиенеопределенностиврезультатахизмеренийявляетсяоднимизосновныхфакторов,усложняющихнавигациюиделающихеенетольконаукой, иискусством.
Случайнымсобытиемназываютсобытие,котороеприданныхусловиях может произойти или не произойти. Степень возможности наступления такого события численно характеризуют величиной вероятности. Вероятность Р– это число, которое может лежать в пределах от0до1.Еслиприданныхусловияхсобытиеникогданепроисходит,егоназывают невозможным событием и его вероятность равна нулю. Если же оно при данных условиях происходит всегда, то его называют достоверным и приписывают ему вероятность равную единице. Если, например, Р=0,3, то это означает, что в среднем в 30 случаях из 100 событие произойдет. Именно в среднем, поскольку событие является случайным. Если создать необходимые для наступления события условия и провести серию из 100 опытов, то событие может произойти, например, 23 раза, или 32 раза… Еслипровести несколько серий таких опытов, или одну серию из тысячи, десяти тысяч, миллиона опытов, то, чем большее количество опытов проведено, тем ближе среднее количество наступлений события будет ближе к 30% от общего количества опытов (если Р=0,3).
Каким же образом можно описать случайные погрешности, если они не имеют какого-либо определенного значения? Часто их характеризуют величинойсреднейквадратическойпогрешности(СКП),котораяобозначается буквой σ (сигма). Так, например, СКП измерения величины aбудем обозначать σa.
СКП является характеристикой степени рассеяния измеренного значения величины вокруг фактического ее значения. Чем больше σa, тем больше рассеяны (разбросаны) измеренные в разных опытах значения вокруг фактического значения величины.
Нарис.2.19геометрическипредставленыввидечисловойосивозможныезначенияизмеряемойвеличиныaиотмеченофактическоееезначение.Крестикаминашкале обозначеныполученныев результатенесколькихопытовизмеренныезначения.Впервомслучаеразбросизмеренныхзначенийвокругфактическогобольше,чемвовторомслучае,следовательно«сигма»,котораяихарактеризуетстепеньразброса,вовторомслучае меньше.
Рис. 2.19. Средняя квадратическая погрешность
По величине СКП можно судить о вероятностях того, что измеренное значение примет то или иное значение. Но для этого недостаточно знать СКП, нужно также знать, какому закону распределения подчиняется данная случайная погрешность. Многие случайные величины подчиняются нормальному (гауссовскому) закону распределения. Для этого закона полезно запомнить следующие значения.
Если систематическая погрешность отсутствует и в результате измерения получено значение aизм, то фактическое значение величины лежит в пределах (рис. 2.20):
aизм ± σaс вероятностью Р=0,68;
aизм ± 2σa с вероятностью Р=0,95;
aизм ± 3σaс вероятностью Р=0,997.
Рис. 2.20. Некоторые вероятности длянормальногозаконараспределения
Например,спомощьюкомпасаизмеренкурсγ=100º,аточностькомпасахарактеризуетсяСКПσγ=2º.Этоозначает,чтофактическийкурс(который так иостанетсянам неизвестным)в среднем:
в68случаяхиз100лежитвпределах100º±2º,тоестьвинтервале98º…102º;
в95случаяхиз100лежитвпределах100º±4º,тоестьвинтервале96º…104º;
в997случаяхиз1000лежитвпределах100º±6º,тоестьвинтервале94º…106º.
ЗначениевероятностиР=0,997настолькоблизкокединице,что соответствующееейзначениепогрешностив«трисигмы»частоназываютмаксимальнойпогрешностью.Насамомделепогрешностьможетегоипревысить. Правда, редко – в среднем втрехслучаяхиз тысячи.
ВтехническихописанияхприборовиоборудованияихточностьможетбытьуказананепосредственноввидеСКПитогдавсепонятно.Ноиногдаееуказывают,например,так:«погрешностьизмеренияпеленга±1,5º».Разумеется,этонеозначает,чтотакойпеленгатор«ошибается»каждыйразна 1,5º.Этотакже неозначает, что оннеможет ошибитьсяболее,чем на 1,5º.Какправило,указанноетакимобразомзначениепогрешностисоответствуетвероятностиР=0,95.Тоестьвсреднемв95случаяхиз100погрешностьнепревысит(вбольшуюилименьшуюсторону)значенияв1,5º.
Соответственно,впятислучаяхизстапогрешностьможетбытьибольше.Длянормальногозаконараспределенияпогрешностивероятность0,95соответствуетудвоеннойСКП.Следовательно,СКПизмеренияпеленгавданном примере составит0,75º.