Розв’язання
Матриця
квадратичної форми має вигляд
.
Знайдемо власні значення та власні
вектори матриці. Для цього розв'яжемо
характеристичне рівняння:
.
Власними
значеннями є
,
та
.
Обчислимо власний вектор для
:
Покладаючи
,
одержимо власний вектор
.
Розглянемо
далі
:
Покладаючи
,
одержимо власний вектор
.
Довжина
обох векторів
,
то ж нормовані власні вектори
.
Складемо матрицю ортогонального перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, записуючи координати нормованих власних векторів по стовпцях:
.
Саме перетворення має вигляд:
Після виконання перетворення рівняння кривої буде мати вигляд:
де коефіцієнтами при квадратах змінних є власні значення матриці квадратичної форми. Спрощуючи, маємо
.
Виділимо
повні квадрати по змінних
та
:
.
Виконаємо друге перетворення координат:
Рівняння
кривої звелося до вигляду
,
або
.
Це канонічне рівняння еліпса з півосями
.
Поєднуючи обидва перетворення координат, маємо
Нова
система координат утворена поворотом
на кут
проти годинникової стрілки, тому що
нові координатні вісі
мають бути спрямовані по власних векторах
,
та паралельним переносом у новий центр
.
Побудуємо графік еліпса.
Задача 18. Обчислити границі числових послідовностей.
1)
;
2)
;
3)
.
Розв’язання
1)
Безпосередній підрахунок границі дає
невизначеність
.
Виконуємо тотожні перетворення у
чисельнику та знаменнику:
.
Степені
многочленів у чисельнику та знаменнику
однакові і дорівнюють
,
тому розділимо чисельник і знаменник
на
:
.
Зазначимо,
що границя відношення двох многочленів
дорівнює відношенню коефіцієнтів при
старших степенях
.
2)
Безпосередній підрахунок границі дає
невизначеність
.
Помножимо чисельник і знаменник на
вираз, спряжений до чисельника:
.
Степені
чисельника і знаменника однакові і
дорівнюють
,
тому розділимо чисельник і знаменник
на
:
.
3)
Безпосередній підрахунок границі дає
невизначеність
.
Виділимо цілу частину дробу:
.
Помножимо і поділимо показник степеня на вираз, обернений до дробу
.
Користуючись
визначною границею
,
маємо
.
Задача 19. Обчислити границі функцій, користуючись визначними границями та наслідками з них.
1)
;
2)
;
3)
.
Розв’язання
1)
Безпосередній підрахунок границі дає
невизначеність
.
Розкладемо чисельник і знаменник на
множники. Маємо
.
2)
Безпосередній підрахунок границі
дає невизначеність
.
З відомих
еквівалентностей
та
при
випливає
при
.
Далі зазначимо, що з еквівалентності
при
випливає
при
.
Застосовуючи одержані результати,
основні теореми про границі та беручи
до уваги, що
,
маємо
.
У ході розв’язання прикладу ми використали можливість заміни нескінченно малих множників на еквівалентні їм нескінченно малі.
3) Перейдемо від показниково – степеневої функції до елементарної:
.
Обчислимо границю показника, виконуючи заміну змінної:
.
Користуючись
еквівалентностями
,
при
,
маємо
.
Отже,
.
Задача
20.
Знайти точки розриву функції
якщо вони існують, та визначити їхній
характер. Побудувати схематично графік
функції.
Розв’язання
Точками
розриву функції можуть бути лише точки
та
.
Обчислимо односторонні границі даної
функції у цих точках:
,
,
;
,
,
.
Точка є точкою неперервності функції, оскільки у цій точці односторонні границі скінченні, збігаються та дорівнюють значенню функції в точці. Точка є точкою розриву першого роду, оскільки у цій точці односторонні границі скінченні, але не рівні між собою.
Побудуємо схематично графік функції.
