Розв’язання

В умові задачі задані загальні рівняння площин, отже відомі координати нормальних векторів цих площин та . Кут між площинами знайдемо як кут між їх нормальними векторами:

Отже, площини Р₁ та Р₂ перпендикулярні.

Напрямним вектором прямої перетину цих площин є векторний добуток нормальних векторів

.

Для визначення координат будь-якої точки шуканої прямої візьмемо, наприклад, та розв'яжемо систему рівнянь

Таким чином, обрано точку . Канонічне рівняння лінії перетину площин

.

Задача 14. Лінія задана рівнянням у полярній системі координат . Визначити рівняння кривої у прямокутній декартовій системі координат, в якої початок координат збігається з полюсом, а невід'ємна піввісь абсцис – з полярною віссю. Звести це рівняння до канонічного вигляду і визначити тип кривої.

Розв’язання

Для визначення рівняння даної кривої у прямокутній декартовій системі координат підставимо у рівняння кривої у полярних координатах, замість змінних та , їхні значення у декартових координатах

.

Маємо

або .

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата та зведемо подібні доданки:

Для зведення одержаного рівняння до канонічного вигляду виділимо повний квадрат по змінній :

.

Розділивши обидві частини рівняння на 12, одержимо канонічне рівняння еліпса з центром у точці та півосями :

.

Задача 15. Знайти власні вектори та власні значення матриці

Розв’язання

Знайдемо власні значення матриці A. Для цього розв’яжемо характеристичне рівняння:

,

звідки , , . Для визначення координат власних векторів, що відповідають власним значенням, складемо однорідну систему:

Підставляючи у систему власне значення , отримаємо

Власним вектором, що відповідає власному значенню є вектор . Для власного значення маємо систему:

З другого рівняння випливає, що змінна приймає будь-які відмінні від нуля значення. При ми одержимо нульовий вектор, який не може бути

властивим. Отже,

Власному значенню відповідає власний вектор . Аналогічно для :

Власним вектором для є .

Задача 16. Дослідити на знаковизначеність квадратичну форму

.

та звести її до канонічного вигляду методом ортогональних перетворень, якщо , , .

Розв’язання

Матриця квадратичної форми має вигляд . Знайдемо її власні значення. Для цього розв’яжемо характеристичне рівняння:

,

звідки , , . Для визначення координат власних векторів, що відповідають власним значенням, складемо однорідну систему:

Підставляючи у систему власне значення , отримаємо

Покладаючи , одержимо власний вектор довжини .

Підставляючи далі у систему власне значення , отримаємо

Покладаючи , одержимо власний вектор довжини .

Підставляючи у систему останнє власне значення , отримаємо

Покладаючи , одержимо власний вектор довжини .

Нормуємо власні вектори:

, , .

Складемо матрицю ортогонального перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, записуючи координати нормованих власних векторів по стовпцях:

.

Саме перетворення має вигляд:

.

Після виконання перетворення квадратична форма зведеться до канонічного вигляду:

,

де коефіцієнтами при квадратах змінних є власні значення матриці квадратичної форми.

Всі власні значення квадратичної форми є додатними, тому квадратична форма є додатно визначеною.

Квадратичну форму можна дослідити на знаковизначеність за критерієм Сильвестра. Для цього обчислимо головні мінори матриці квадратичної форми:

.

Всі вони є додатними, тому квадратична форма є додатно визначеною.

Задача 17. Користуючись теорією квадратичних форм, звести до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку

,

визначити тип кривої та побудувати її.