Глава III

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ

1. Знак и значение.

2. Проблема существования математического объекта.

3. Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики.

4. Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром.

1. Знак и значение

Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они проявляются в языке.

Знак понимается как материально-вещественное образование, предмет, который относит к другому предмету и замещает его в актах экспрессивной (способы выражения), коммуникативной (общение) и познавательной деятельности. А то, к чему знак отсылает, является значением (денотат). Знак и значение тесно связаны. Как нет знака без значения, и вне отношения к последнему знак не существует, так и нет значения, если оно никак не обозначено, не соотнесено со знаком.

Вообще, принцип любого языка – обозначать внелингвистическую реальность. Язык для того и создается, чтобы говорить о чем-то вне его, а не о собственных знаках. Смешение этих уровней (знаки языка и обозначаемая реальность) ведет к разрушению основного принципа языка. На эту тему есть хорошая иллюстрация у

33

польского логика XX в. А. Тарского. В книге «Логика и методология дедуктивных наук» он пишет: что было бы, если бы мы в предложении «Этот камень синий» слова «Этот камень» вырезали, а на их место положили настоящий камень? Нечто подобное происходит с героями Д. Свифта, академиками из Лагадо. Они носили за плечами огромные мешки, загруженные различными вещами, и при встречах друг с другом общались, вынимая из мешков соответствующие ходу мысли предметы.

Однако, несмотря на основной принцип языка, его знаки все же могут быть обращены и к самим языковым знакам. Это так называемое автонимное употребление знака, то есть его использование в собственном значении. Скажем (пример Тарского же), мы говорим: «Мария состоит из пяти букв». Очевидно, здесь речь не о некой конкретной Марии, а о женщине по имени Мария. Для упорядочения высказывания имя надо взять в кавычки: «Мария» состоит из пяти букв. В автонимном режиме используются, например, знаки алфавита. Они обозначают сами себя. Видимо, автонимно используются и некоторые математические знаки, например числа.

Наука о знаковых системах называется семиотикой. Она имеет 3 раздела: синтаксис (отношение знака к знаку), семантика (отношение знака к обозначаемому) и прагматика (использование знака). В ближайшем рассмотрении остановимся на семантике и попытаемся выяснить, что же является значением знака.

Имеются три основных концепции значения: предметная, смысловая и бихевиористская. Самой естественной представляется первая. Собственно, она реализуется и в наиболее распространенном определении знака, как «предмета, отсылающего нас к другому предмету, представляя его в актах экспрессии, коммуникации и когнитивной (познавательной) процедуры». Но такой подход встречает ряд трудностей. Как поступать со знаками, обозначающими абстрактные понятия, например «зависть», «душа», «ликование»? Что собой они представляют в качестве предметов? Как пишет поэт:

Я все нарисовать могу:

Морскую рябь, хотите сушу.

Но человеческую душу

Нарисовать я не могу.

34

Когда Эйнштейна в пору создания теории относительности упрекали в том, что она противоречит здравому смыслу, он парировал: «А что такое «здравый смысл»? Его можно потрогать, взвесить?»

Возникали проблемы и с нулевыми понятиями, не имеющими в своем объеме ни одного элемента, скажем, русалка, леший, кентавр. Знак налицо, а то, к чему он отсылает, как реальный объект не существует, то есть получается знак без денотата. Наконец, за рамками предметного охвата оказываются и случаи, когда обозначаемый предмет исчез, а знак остался: имена умерших людей, прошедших событий и т.п.

В связи с этим вспоминается изложение английским писателем XX в. Д. Оруэллом в романе «1984 год» попыток манипуляций со значениями и знаками в бывшем СССР. Совершая насилие над языком, пропаганда, да и некоторые деятели науки, пытались создать так называемый «Новояз» («новый язык»). С одной стороны, стремились вытравить из общения некоторые слова, полагая, что тем самым удастся вытравить и соответствующие значения: «благость», «милосердие», «господин». С другой стороны, усиленно насаждались новые значения путем внедрения их в старые слова. Например, «товарищ». Однако все это приживалось плохо, поскольку язык сопротивляется подобному использованию его знаков. Несмотря на эти усилия, старые слова жили, а с ними жили и их значения. Потому слово «товарищ», например, дальше официальных обращений так и не ушло, в быту же вместо дореволюционных «господин», «госпожа» и советского «товарищ» стали употреблять совершенно уродливые выражения «женщина», «мужчина», потому что «товарищ» – это коллега по партии (кстати, в немецком ГДР указанные оттенки, несмотря на усилия советизации, сохранились «Herr» и «Genosse»).

В попытках преодоления указанных трудностей выросла смысловая концепция значения. Чтобы изложить ее суть, удобнее начать разговор не теоретическими рассуждениями и дефинициями, а зарисовкой типичной ситуации повседневного общения. Заимствуем ее у А. Ветрова, специалиста в области семиотики. Студенческая аудитория. Начинаются занятия. Положим, я прошу. «Пожалуйста, принесите мне мел». И вот кто-то, сознательный, идет и приносит мне мел. Но разве я показал ему мел? Что я сделал? Произнес комплекс звуков, однако мне принесли не комплекс звуков, а настоящий мел. Почему же этот кто-то принес то, что я просил? Дело в том, что с предметом, в данном случае с мелом, соотносится

35

не только название, но и совокупность знаний о предмете. В уме остается след от вещей, то есть знание. Поэтому предмет можно представить в речи двояко: называя не только по имени, но и путем описания свойств. Способ представления вещи с помощью указания ее признаков и является смысловым. Смысл – это то, что можно сказать о термине в рамках данного языка.

Впервые об этом различении заявил известный немецкий логик рубежа предшествующих столетий Готтлоб Фреге, разграничив смысл и значение («Sinn und Bedeutung») в качестве характеристик предмета. Он демонстрировал это хорошо доступным примером. Если взять предметом планету «Венера», то смыслами могут выступить такие ее характеристики, как «Утренняя Звезда» и «Вечерняя Звезда» (Венера является земному наблюдателю то утром, то вечером). Таким образом, один и тот же предмет, будучи значением знака (его название), в то же время описывается смыслами (в нашем случае их два, но может быть и много больше). Аналогично из Блока: «Мой любимый, мой князь, мой жених». Или у Гейне: «Die eine, die meine, die kleine, die reine» (моя, единственная, маленькая, чистая).

Выделение наряду со значением смысла позволяет более адекватно представить отношение мышления и языка к реальности и друг к другу. Вместо линейной связи реальный мир (вещь) – мышление (понятие) – слово, когда слово соотносится с вещью опосредованно, через понятие, гораздо удобнее и точнее выражает их соотношение схема треугольника Ричардса – Огдена (рис. 2).

Здесь слово (знак) имеет прямое отношение не только к понятию, которое оно представляет, но и к вещи, которую слово-знак, будучи материальным носителем мысли (понятия), обозначает.

36

Но смысловая концепция тоже уязвима. Ведь знак прежде всего соотносится с предметом. В конечном итоге ради чего состоится общение, как не с целью указать на предметы? Поэтому, хотя смысловая теория и по-иному раскрывает значение, нежели предметная, они не противоречат, а, скорее, дополняют друг друга. Поэтому современная семиотика исповедует объединенную предметно-смысловую концепцию значения.

Имеет широкое признание также бихевиористская (от англ. behaviour – поведение) теория значения. Она принимает в качестве значения знака совокупность действий, которые предстоит выполнить, воспринимая соответствующий знак. Здесь тоже свой резон. Человеческое существование исполнено деятельностью, которая в значительной мере регулируется знаково-сигнальными системами, притом поступающими не только извне, но и по каналам внутренней речи. Бихевиористский подход сполна реализуется в математике (и там, где она используется другими науками, и в повседневной жизни). Многие знаки – символы – как раз и обозначают не что иное, как указание на производство соответствующих операций: знаки четырех действий арифметики, логарифм, интеграл и т. п.

В рамках этой концепции родилось течение операционализма, несущего философскую нагрузку. Особое распространение опера-ционализм получил в физике: физический объект есть совокупность способов его измерений. С появлением квантовой механики операционализм еще более утвердился в качестве оправданного понимания значения в силу специфической природы микрообъекта и способов его исследования. В связи с операционализмом получил новые аргументы и конвенционализм, поскольку определение объекта и, следовательно, его принятие научным сообществом во многом зависит от выбора процедуры измерения.