3. Эвристика

Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математиков находим поэтому не только его использование, но и рекомендации, ориентирующие исследователя на создание общих теорий, методов, решений. Мы уже говорили о Лейбнице. Аналогичный путь в изучении своего предмета был задуман и реализован Лагранжем. Раскрывая «секрет», которым он руководствовался при написании «Аналитической механики, ученый отмечал: «Существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно иным. Я поставил своей целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи»¹. Следуя задуманному, Лагранж надеется, что он «объединит и осветит с единой точки зрения различные принципы, открытые до сих пор, с целью облегче-

_________________

¹ Лагранж Ж. Аналитическая механика. М; Л.: ПТИ, 1950. Т. 1. С. 9.

219

ния решения механических задач, укажет их связь и взаимную зависимость...»¹.

На плодотворность приема осмысления частной математической проблемы как общей и обобщенных методов ее решения обращает внимание Г. Вейль. Он считает полезным высказать следующее пожелание: «...всякий раз, когда вам приходится иметь дело с объектом , наделенным структурой, попытайтесь определить группу его автоморфизмов, то есть группу, элементы которой являются преобразованиями, оставляющими без изменения все структурные соотношения. Вы можете рассчитывать на то, что на этом пути вам удастся глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта »².

Общий подход плодотворен и тем, что открывает простор панорамному видению, возвышая исследователя до позиции широкого пространственного и временного обзора его частной проблемы. Это проявляется в том, что такой метод стимулирует вовлечение в поиск разностороннего круга идей, притом из сферы не только науки, но и искусства, культуры, вообще всего запаса знаний ученого. Это и расширяет пространство математических исканий, ибо заранее трудно предугадать, на пересечении каких концепций будет высвечена истина. Является перспективным, отмечает белорусский математик, академик Еругин, метод «перемешивания идей». И чем они разнороднее, тем скорее гарантирован успех. Еще более радикальный тезис провозгласил А. Пуанкаре: «Среди комбинаций, на которые падает выбор, часто самыми плодотворными оказываются те, элементы которых взяты их наиболее удаленных друг от друга областей»³.

Общий взгляд расширяет и панораму временного видения объекта исследования. Речь идет об эвристическом подходе к предмету с точки зрения его эволюции: каков он был при его возникновении, какие этапы развития прошел и чем стал к моменту исследования. То есть полезен учет всей истории становления объекта.

Однако объекты математики (как и физики, химии и некоторых других наук) заданы как неизменные. Применим ли здесь истори-ко-эволюционный подход?

_________________

¹ Лагранж Ж. Аналитическая механика. М.; Л.: ГТТИ, 1950. Т. 1. С. 9.

² Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. С. 159.

³ Пуанкаре А. Наука и метод. С. 56.

220

Он применим, но в ином разрезе. Относительно любой области науки имеется история ее изучения. И если некий объект не развивается, то развиваются идеи его освоения мыслью, складывается эволюция познаний. Д. Гильберт высказывает в связи с этим следующее важное замечание. Он пишет, что если нам не удается решить проблему, значит мы не смогли овладеть общей точкой зрения и взять задачу в цепи родственных задач, то есть поместить ее в пространственное и временное окружение.

В формировании общего подхода к объекту решающее слово за философией, ибо в ее категориях и утверждениях сосредоточено всеобщее содержание. Многие крупные ученые особо оговаривали это. Так, М. Борн, например, писал: «Меня никогда не привлекала возможность стать узким специалистом... Философский подтекст работы всегда интересовал меня больше, чем ее специальные результаты»¹.

Выступая предельно общими, категории и положения философии применимы в любой сфере знания, более того – в любой теоретической и практической деятельности как средство решения познавательных и прагматистских ситуаций. Широта делает их достаточно неопределенными в своих значениях, но именно эта размытость границ и позволяет исследователю свободно использовать категории в качестве орудий эвристического поиска истины. «Хорошо известно, – пишут Френкель и Бар-Хиллел, – что во всей математике – и в других науках – изучение самых общих, во всей их неограниченной общности, понятий часто оказывалось чрезвычайно ценным для развития науки»². Даже для математики, категории которой сами достаточно общи, плодотворно «общение» с неограниченно широкими философскими понятиями.

Философские положения открывают простор свободному воображению ученого. В качестве знания с предельным охватом они образуют поле для эффективной, не затрудненной ограничениями синтетической деятельности, ориентируя на получение принципиально новых результатов. Создается возможность появления неожиданных ассоциаций, недосягаемых на почве одних лишь специальных знаний.

_________________

¹ Борн М. Моя жизнь и взгляды. С. 19.

² Френкель Л., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 14.

221

В плане более конкретных эвристических рекомендаций можно отметить следующие приемы проявления метода обобщающей переформулировки задачи в математическом творчестве.

Прием видоизменения условий задачи. Вообще, как замечает Д. Пойа, варьирование путей решения есть показатель интеллекта, что и реализуется в поиске. Оно проявляется в попытках перевести проблему на другой язык, например с алгебраического на геометрический, с языка двумерного пространства на трехмерное исчисление и т. д. Так, возникшая еще в XIX столетии теорема о четырех красках (при составлении политического облика карт) не поддавалась решению геометрическими методами (почему именно четыре цвета, а может быть, достаточно трех?). Ее решили лишь алгебраически с изобретением ЭВМ.

В качестве эвристической реализации рассматриваемого метода эффективен прием передислокации вектора поиска.

Академик Н. Лузин рекомендует операцию «двойного видения». Когда доказательство теоремы не получается, попробуйте ее опровергать, придумайте контрпример и т. п. Эффективен также прием оборачивания, когда пытаются условие задачи превратить в ее решение или еще сильнее – проблему обернуть как постулат. Таким образом и поступил Н. Лобачевский. Убедившись, что задача логического вывода аксиомы о параллельных из остальных невыполнима и что, следовательно, аксиома независима, Лобачевский и решил превратить эту проблему в постулат новой геометрии.

Прием оборачивания как способ расширения путей поиска на базе общего подхода проявляется и в случае открытий, когда идут не от основания (причины) к следствию, а наоборот. Это своего рода обратный ход.

В XIX в. английский математик и астроном Дж. Адамс и французский астроном У. Леверье чисто математически, опираясь на данные возмущений в орбите Урана, вычислили существование неизвестной дотоле планеты Нептун, которая и была «виновницей» возмущений. Их ход мысли был таков. Вместо того, чтобы вычислять возмущения, которые вносит известная планета с известной массой и орбитой (в нашем эпизоде Уран) в движение других планет, ими решалась обратная задача: по возмущениям, вносимым неизвестной планетой в движение известного науке Урана, Адаме и Леверье определили массу и орбиту этой «незнакомки» (планету Нептун). Подобный прием позднее назвали открытием «на кончике математического пера». Название стало нарицательным, обозначая

222

эффективный метод поиска на пути внеэмпирических операций научного исследования.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Характеристика метода обобщающей переформулировки проблемы.

2. Особенности знания об общем.

3. Свойства панорамного видения объекта.

4. Эвристические приемы на основе метода обобщающей переформулировки проблемы.

Литература

1. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975.

2. Пойа Д. Как решать задачу. М., 1959.

3. Qwine W. World and Object. N.Y.; L., 1960.

4. Харди Г. Исповедь математика. М: Знание, 1967.

5. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970.

6. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л., 1987.

7. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959.

8. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969.

9. Даламбер. Динамика. М.; Л.: ГТТИ, 1950.

10. Сойер У.У. Прелюдия к математике. М.: Математическое просвещение, 1972.

11. Богоявленский Д.Н., Менчинская H.A. Психология усвоения знаний в школе. М.: АН РСФСР, 1959.

12. ЛагранжЖ. Аналитическая механика. М.; Л.: ГТТИ, 1950. Т. 1.

13. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

14. Борн М. Моя жизнь и взгляды. М.: Прогресс, 1973.

15. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966.

223

Заключение

МАТЕМАТИКА

В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ

Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.

По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальная фаза любой научной концепции – это ее математизация. Никакая наука не может обойтись без измерений, если она желает достичь верной картины в своих описаниях реального. Потому девизом науки уже издавна провозглашен тезис: измерить все, что измеримо и сделать все неизмеримое измеримым. Но в качестве меры наиболее подходящим и эффективным выступает число – фундаментальный инструмент математики, ее, точнее, арифметики, повторимся, «архимедов рычаг».

Утвердилось высказанное еще Леонардо да Винчи мнение о том, что «никакое исследование не может считаться научным, пока оно не пройдет через математическое доказательство». Более того, научность со временем стала отождествляться с математической строгостью. Сформировалось убеждение, что истинными вправе называться лишь такие утверждения, в выработке которых участвовали математические методы. М. Ломоносов таким выражением записал эту мысль: «В академиях примечено, что иногда химики, анатомики, ботаники, историки почти никакого знания первых математических оснований не имеют и для того не могут в своей практике и расположить порядочно и сообразить рассуждением, которым купно с логикою надежная предводительница есть геометрия».

Выделенность именно математического стиля рассуждения в ряду других объясняется не только его высокой точностью, опирающейся на бесспорный эталон числовых мер, но и строгостью, не оставляющей места для разночтений. Строгость в качестве синонима необходимого и достаточного обязывает включить в доказательную процедуру только то, что требуется, убрав все лишнее.

224

Этим достигается безызбыточность текста, его самоочевидность, безальтернативность и единственность, когда никакие разночтения уже невозможны.

Все это и дало основание Канту заявить в его «Метафизических началах естествознания» хорошо известную максиму, ставшую афористичной и не единожды повторенной: «В любом частном, учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики». Характеризуя, например, состояние физической науки уже в XX столетии, П. Дирак констатирует, что каждый новый шаг в развитии физики требует все более высокой математики.

Характерное наблюдение выносит ректор Московского физико-технического института Н. Карлов. Еще 500 лет тому назад самые светлые, глубокие и талантливые умы работали в области теологии, но позднее эти умы постепенно все более внедряются в математику. И так продолжается до наших дней.

Таково положение дел в науке. В свою очередь, наука, несмотря на отдельные тени, омрачающие ее репутацию некоторыми нежелательными следствиями научно-технического роста, была и остается основным фактором и высшим показателем общественного прогресса. Рассуждая транзитивно, можно считать, что, поскольку математика – лицо науки, а наука – олицетворение уровня развитости общества, то математика, следовательно, есть наиболее значимый показатель темпов социальной эволюции. Как считает, например, Ф. Дайсон, математика характеризует уровень развития эпохи, или, по выражению белорусского математика, академика Еругина, есть «барометр цивилизации». В связи с этим говорят даже так. Мы живем в условиях математической цивилизации, поскольку является догмой научной идеологии вера в возможность и плодотворность математизации всей научной, а за нею вслед любой социальной деятельности.

В свое время А. Блок, обращаясь от имени России к западному миру, писал:

Идите все. Идите за Урал.

Мы уступаем место бою

Стальных машин, где дышит интеграл,

С монгольской дикою ордою.

225

Конфликт цивилизаций: одна донаучная, отмеченная дикостью нравов, которой противостоит другая цивилизация, выстроенная по чертежам математических исчислений.

Если вынашивать наиболее радикальные намерения, то не стоит исключить и возможность того, что управление обществом надо доверить математически образованным политическим деятелям. Так по крайней мере считал социалист-утопист Сен-Симон, создавая социалистическую систему государственного устройства. По его мнению, общество должно управляться «Великим Ньютонианским советом», состоящим из лучших математиков, физиков и физиологов мира. А в качестве председателя они должны избрать математика.

Открывается еще одна, неожиданная функция математики. Высказывают мысль о ее глубокой гуманистической насыщенности.

Так, раскрывая представления о возможностях человека, обращают взоры на то, что именно математика полнее всего реализует эти возможности. Не случайно Пуанкаре как-то назвал математику воплощением потенций человека. Еще ранее Паскаль высказал следующее соображение. То, что превышает геометрию, отметил он, превышает нас. То есть в достижениях человечества нет ничего более высокого, чем геометрия.

Глубоким выражением гуманистических начал математика выступает и в линиях свободы творчества. Мы уже написали об этом, здесь добавим лишь следующее. Несмотря на дисциплинарную обязательность, которой требуют математические операции счислений, сам выбор аксиом исчисления свободен от каких бы то ни было внешних диктатов, будь то природа, эмпирический опыт, наблюдательные данные. Тем самым математика, принимая свои исходные объекты без определений, учит свободному обращению с ними и внушает человеку раскованность и свободомыслие. А это обстоятельство сближает математиков с творцами искусства: поэтами, композиторами. На это особенно обращал внимание Г. Вейль, подчеркивая, что математика, как и художественное творчество, выводит к мировой гармонии.

О математических основаниях гармонии постоянно напоминает И. Кеплер, реализуя, как мы видели при изложении его законов движения планет, эту идею в своем творчестве. Кеплер особенно выделяет навеянный ему свойствами музыкального ряда второй закон: радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равные площади. Не дуги, а именно площади. Этим обусловлена неравномерная скорость вращения планеты. Она более

226

высокая вблизи фокуса, поскольку надо пробежать большее расстояние, чем когда планета на дальней от фокуса дуге, где скорость ниже. Смена скоростей и пробуждала музыкальные ассоциации. Конечно, пишет Кеплер в книге «Гармония мира», двигаясь, планеты не издают звуков, но, хотя мы их не слышим, звучание можно обнаружить при надлежащем «переводе» особенностей движения планет на ноты. Ведь еще древние уверовали в музыку сфер.

Определенно, учитывая этот факт математической заданности гармонии, немецкий поэт-романтик XVIII в. Новалис называет математику «жизнью богов». Так он обозначил ее причастность возвышенному как проявлению всей потенциальной глубины человеческой сущности, наиболее адекватно реализуемой в математическом творчестве.

В завершение и довершение характеристик математики напомним слова С. Пуассона, дошедшие из глубины столетий: «Жизнь прекрасна двумя вещами: возможностью изучать математику и возможностью ее преподавать». И хотя настоящая книга посвящена не собственно математике, а лишь ее философскому прочтению, тем не менее питаем надежду, что автору-преподавателю и читателю-слушателю удалось коснуться, пусть ограничительно, тех прекрасных вещей, которые приносит общение с математикой.

227

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

Раздел 1

МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ

Глава 1. Предметная область философии математики 5

1. Определение философии. Разброс значений 5

2. Функции философии в их отношении к математике. 10

3. Философия в математике. Констатации и оценки. . 14

Глава II. Специфика математического знания 20

1. Математический объект как абстракция от абстракции 20

2. Математика – наука об отношениях 25

3. Проблема свободы математического творчества. 27

Глава III. Математическая реальность 32

1. Знак и значение 32

2. Проблема существования математического объекта. 36

3. Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики 41

4. Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром 46

Глава IV. Математика в системе наук 54

1. Принцип дихотомии знания 54

2. Математика как язык науки 58

3. Математическая методология 62

4. Математика – источник представлений и концепций в естествознании 64

228

Раздел 2

ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72

1. Понятие обоснования математики 72

2. Программа логицизма 76

3. Причина неудач 83

4. Философская оценка 87

Глава VI. Программа интуиционизма и его конструктивная ветвь 94

1. Критика интуиционистами основ логицизма и проблема бесконечности 94

2. Интуитивистская альтернатива 98

3. Ограниченность интуиционизма 103

4. Конструктивная ветвь 106

Глава VII. Формалистское обоснование математики 111

1. Программное заявление 111

2. Концепция абсолютного доказательства и метод формализованной аксиоматики 115

3. Результаты Геделя 118

Глава VIII. Современное состояние проблемы обоснования 124

1. Итоги исканий 124

2. Новые подходы 130

3. Обоснование в свете эволюции математики 134

Раздел 3

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТИНА: СТАТУС, СТРУКТУРА, КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОРИЕНТИРЫ

Глава IX. Специфика истины в математике 140

1. Истина в формализованных языках 140

2. Критерий выводимости и понятие корректности. 145

3. Математика и методы схоластики 149

Глава X. Дедуктивные системы 155

1. Математическое доказательство 155

2. Принципы построения дедуктивных теорий 160

3. Критерии «внешнего» оправдания 165

229

Глава XI. Критериальные ориентиры математического поиска 174

1. Вторичные показатели истины 174

2. Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика. 178

3. Вероятностный характер вторичных критериев. . 184

Раздел 4

МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА

Глава XII. Интуиция и логика 190

1. Базисные определения. Расстановка позиций 190

2. Этапы творческого процесса 193

а) Постановка проблемы 193

б) Инкубация 194

в) Озарение 195

г) Логическая подборка 197

Глава XIII. Метод формализации 200

1. Понятие формализации 200

2. Эвристика. Формализация как прием получения нового знания 203

3. Границы и издержки формализации 208

Глава XIV. Метод обобщающей переформулировки задачи 210

1. Проблемная ситуация и алгоритм метода 210

2. Преимущества общего подхода 213

3. Эвристика 218

Заключение. Математика в социальном измерении 223

Учебное издание

Анатолий Константинович Сухотин

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

Редактор Т. В. Зелева

Технический редактор P.M. Подгорбунская

Оригинал-макет A.M. Мороз

Лицензия ИД 04617 от 24.04.2001 г. Подписано в печать 12.01.2004г.

Формат 60х84 ¹/₆. Бумага офсетная №1. Печать офсетная.

Печ. л. 14,5; усл. печ. л. 13,48; уч.-изд. л. 13,42. Тираж 500 экз. Заказ 265

ФГУП «Издательство ТГУ», 634029, г. Томск, ул. Никитина, 4

Типография «Иван Федоров», 634003, г. Томск, Октябрьский взвоз, 1