3. Результаты Геделя

В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильберта невыполнима. Идеи Геделя оказали столь сильное влияние, что дальнейшее развитие логики шло уже под знаком тех выводов, которые были получены Геделем.

Аксиоматизируя какую-либо область знания, полагали, что систему аксиом удается подобрать так, что она будет полной. По Гильберту и Аккерману, полнота означает возможность выведения всех истинных формул определенной области знания из данной системы аксиом. Это широкий смысл. Более строгое понятие полноты пред-

__________________

¹ С помощью теории доказательства «я хотел бы, – писал Гильберт, – окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми...» (Гильберт Д. Основания геометрии. С. 365).

119

полагает, что присоединение к системе какой-либо невыводимой, «чужой» формулы обязательно приводит к противоречию¹.

Но что значит «невыводимая» формула? Это формула (высказывание), недоказуемая в данной системе, то есть ее нельзя определить на истинность: ни подтвердить, ни опровергнуть. Такие образования мысли считаются неразрешимыми. Математики и логики, строя аксиоматические системы (Рассел и Уайтхед, Цермело, Френкель и др.), исходили из того, что аксиом и правил вывода системы достаточно для того, чтобы решить любой математический вопрос, который может быть формально выражен в соответствующих системах. Следовательно, аксиоматизированная арифметика полна или может быть пополнена добавлением конечного числа аксиом.

Гедель же как раз и доказал, что это не так, что все подобные построения, содержащие в качестве своей части формальную арифметику, неполны. Это значит, что в них всегда можно сформулировать проблему, построить предложение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. В частности, подобное предложение можно высказать в виде х, которое содержит утверждение о своей недоказуемости. Хотя такое предложение и является истинным, но доказать его невозможно. Отсюда вытекает, что система неполна. То есть при попытке провести полную формализацию всегда обнаруживается некий остаток, который не поддается формализации, свидетельством чему и является предложение х.

Однако можно поступить и так. Принять этот неподдающийся остаток в качестве аксиомы и пополнить им список аксиом нашей системы, сделав ее полной. Но тогда в этой новой системе найдется другое предложение х', которое, несмотря на истинность, также окажется неразрешимым, и т.д. Иначе говоря, система неполна и непополняема.

В своей первой теореме Гедель и резюмировал, что любая логистическая система, настолько богатая, чтобы содержать формализованную рекурсивную арифметику, либо противоречива, либо включает хотя и истинную, но неразрешимую формулу – такую, которая недоказуема сама и недоказуемо ее отрицание . Утверждая,

__________________

¹ Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. С. 66.

² Г. Вейль по этому поводу в шутку заметил: «Бог существует, поскольку математика несомненно непротиворечива. Но существует и дьявол, поскольку доказать ее непротиворечивость мы не можем».

120

что система либо неполна, либо противоречива, имеют в виду следующее. Систему можно сделать полной, но лишь включив в нее такую аксиому, на основе которой предложение будет и истинным и ложным.

Эта теорема и была названа теоремой о неполноте формализации (точнее, формализованной арифметики).

В чем же источник неполноты? Математические системы, включающие формальную арифметику, допускают, как мы уже отметили, возможность формулировать предложение о собственной недоказуемости. Здесь и возникает антиномия. Запишем предложение:

Это предложение недоказуемо.

Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от этого не легче. Мы доказали, что наше предложение истинно, а в истинном предложении утверждается то, что есть на самом деле, то есть что предложение недоказуемо. Иначе сказать, мы доказали недоказуемое. Где ошибка?

Причина в недостаточной определенности самого понятия доказуемости. Общее понятие доказуемости отсутствует, и можно говорить лишь о доказуемости относительно конкретной системы¹. Но здесь мы выходим ко 2-й теореме Геделя.

Возникает вопрос, не является ли факт неполноты теории выражением ее противоречивости? Доказательством 2-й теоремы Ге-дель осветил и эту проблему, определив границы непротиворечивости формализованной системы. Формализованная арифметика не обязательно должна быть противоречивой. Но если она непротиворечива, утверждает Гедель, то не существует доказательства ее непротиворечивости, которое можно было бы провести средствами, формализуемыми в этой системе. Таким образом, дело не в том, что вообще нельзя доказать непротиворечивость арифметики. Невозможно такое доказательство непротиворечивости, которое могло бы быть отображено (переведено) в формальное доказательство, проводимое в самой формализованной арифметике, на языке данного исчисления.

Безусловно, выводы Геделя имеют более широкое, чем критика формализма, применение. Теоремы выявили ограниченность под-

__________________

¹ Подробнее см.: Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М., 1981. С. 237-238.

121

ходов школы Гильберта. Замыкая проблему обоснования математики на самой математике, формализм подменил вопрос об истине ее утверждений требованием непротиворечивости. Но не все сводимо к синтаксису знаков (например, чисел) и их соединению в формулы. На развитие математики оказывают влияние проблемы, связанные с выяснением предметного значения символов и их сочетаний (формул), а также вопросы практического назначения знаков, использование достижений математики в прикладных аспектах, в решении конкретно-научных, производственных, технологических и т. п. задач. Короче, наряду с синтактикой выполняют важную роль также семантика и прагматика.

Б. Рассел так охарактеризовал эту ситуацию: формалист, писал он, подобен тому часовому мастеру, который настолько поглощен тем, чтобы лучше выглядели часы, что забывает об их назначении показывать время.

Тем не менее вопреки выводам Геделя Д. Гильберт (как и многие математики) продолжал верить в осуществимость своей программы и не считал, что потерпел поражение, продолжая работу по исследованию темы¹.

Сложилась характерная ситуация. Ряд математиков, признавая правоту Геделя, в то же время сомневались в том, что математическую логику удастся привести к совершенству, когда она могла бы обнять всю математику единой формальной системой, наподобие той, что демонстрирует Гедель. Подспудный смысл таких настроений выдает сопротивление стремлениям сузить компетенции математического мышления, тем самым обеднив его. Как заметил современный американский математик П. Коэн, жизнь была бы приятней, не будь гильбертовская система потрясена теоремой Геделя.

Вместе с тем следует признать, что выводы Геделя (как и ряд аналогичных теорем – А. Тарского, А. Черча и др.) не означают признания ущербности формальных систем. И хотя они указывают границы применимости формализмов, только на этом их значение не замыкается. На основе указанных решений удалось раскрыть существенные аспекты многих содержательных понятий – напри-

__________________

¹ Не случайно, что в надгробии могилы Гильберта высечено:

Wir müssen wissen.

Wir werden wissen.

(Мы должны знать.

Мы будем знать.)

Слова, остававшиеся девизом его жизни.

122

мер «истинность», «доказуемость», «логическое следование». Скажем, разработка Тарским проблемы истины в формализованных языках внесла большой вклад в теорию истины.

В связи с этим уместно напомнить о методологической функции запретов в науке, одним из которых и является теорема Геделя.

Обращаясь к этой теме, Н. Овчинников подробно прослеживает историю науки под углом плодотворности действия запретов на эволюцию знаний, начиная с исторически первого запрета – принцип атомизма (нельзя разделять, дробить и т. п. частицы вещества, из коих состоит мир) и до современных запретов. По сути, каждый крупный шаг в развитии знания, особенно точного, связан с выдвижением новых запретов, а теоретические построения без запретов не могут претендовать на научность¹. Напрашивается мысль рассуждения Овчинникова резюмировать следующим образом. В научном познании настойчиво проявляют себя различные варианты запретов, играющие важные методологические и эвристические роли. Постоянно витает, говоря словами К. Поппера, «интуитивная идея, суть которой в том, что утверждения или теории говорят тем больше, чем больше их запрещают или исключают» ².

Специально же тема позитивного запретительного значения теорем Геделя рассматривается А.Н. Паршиным³.

Также отмечая позитивную методологическую роль запретов (закон сохранения энергии, ограниченность скорости света в теории относительности, принцип неопределенности Гейзенберга и др.), Паршин делает следующий вывод. Согласно Геделю, если мы хотим формализовать истину, мы не сможем этого сделать ни на каком данном этапе и будем только гнаться за формализацией. Следовательно, мы имеем дело с фактом расширения построенной нами формализованной системы. Поэтому можно формализовать некий добытый результат, но для добывания новых результатов необходимо раз за разом уходить от полученного формализма.

__________________

¹ В частности, по поводу принципов атомизма кто-то из физиков заметил: «Если бы вся научная информация погибла, то, располагая лишь единственной гипотезой об атомистическом строении вещества, можно было бы восстановить всю науку».

² См.: Овчинников Н.Ф. Знание – болевой нерв философской мысли // Вопросы философии. 2001. № 2. С. 124-151. Цит. там же. С. 145.

³ См.: Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии. 2000. № 6. С. 92-109.

123

Высокую оценку открытию Геделя дает фон Нойман, один из лидеров формалистского направления. Вклад Геделя в логику поистине фундаментален. Это больше, чем монумент. Это веха, разделяющая две эпохи, ибо открытие Геделя изменило предмет логики как науки.

Более того, выводы Геделя имеют не только логическое и не только общенаучное значение, но, как считают исследователи, они открывают возможность постижения природы человеческой мысли и даже самой жизнедеятельности. Так, А. Паршин пишет: «Теорема Геделя показывает не просто ограниченность логических средств, она говорит о каком-то фундаментальном, глубинном свойстве мышления и, может быть, жизни вообще»¹.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Исходные установки формалистского направления.

2. Принцип абсолютного доказательства Д. Гильберта.

3. Философская оценка результатов К. Геделя.

4. Значение идей Геделя для развития математики.

Литература

1. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: ОГИЗ, 1948.

2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л., 1937.

3. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

4. Смирнова Е.Д. Непротиворечивость и элиминируемость в теории доказательств // Философия в современном мире: Философия и логика. М: Наука, 1974.

5. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: Иностр. лит, 1947.

6. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М., 1981.

7. Овчинников Н.Ф. Знание – болевой нерв философской мысли // Вопросы философии. 2001. № 2.

8. Паршин А.И. Размышления над теоремой Геделя // Вопросы философии. 2000. № 6.

__________________

¹ Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя. С. 94.

124