Тема 1.4 основные понятия и методы дискретной математики.

Краткие теоретические сведения:

[2]: с.5-18.

Под множеством понимают совокупность элементов любой природы, поддающихся счету и объеденных общим признаком.

Над множествами можно выполнять следующие операции:

1. Объедение множеств А и В – множества, состоящие из всех элементов множества А и В;

2. Пересечение множеств А и В – множество, содержащее только общие элементы множеств А и В;

3. Отрицание (инверсия) – множество дополняет множество А до фундаментального множества V (или 1);

4. Разность между множествами А и В называется совокупность тех элементов множества А, которых нет в В;

5. Дополнением к разности служит импликация;

6. Стрелка Пирса – дополнение объедения до фундаментального множества;

7. Штрих Шеффера – дополнение пересечения до фундаментального множества;

8. Симметрическая разность двух множеств А и В – объедение двух разностей;

9. Эквивалентность множеств А и В – множеств, состоящих из элементов А и В, которые не являются общими.

Таблица истинности логических операций:

х1	х2		x1+x2	x1↔x2	x1x2	x1-x2	x1 x2	x1 x2	x1↓x2	x1↑x2
1	1	0	0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	0	1	1	0	0	0	1	1
1	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	1	0	1	0	1	0	0	1

Самостоятельная работа №1.

Вид работы: подготовка к практической работе №6 на тему «Составление таблиц истинности».

Форма организации работы: коллективная.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретический материал по теме работы ( МУ с.21-22).

2.Ответьте на вопросы:

- Что называют множеством? Подмножеством множества?

- Охарактеризуйте основные операции над множествами.

- Какие методы доказательств тождеств алгебры множеств вы знаете?

- Сформулируйте законы теории множеств.

Тема 1.5 основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики.

Краткие теоретические сведения:

[1]: Гл.17, [2]: Гл.4.

Вероятностью событий A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события A, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

. (1)

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность P(A) = 0, а достоверному - P(A) = 1.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

; (2)

. (3)

Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

. (4)

Для трёх совместных событий имеет место формула

. (5)

Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:

. (6)

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается или .

Если A и B независимые события, то

. (7)

События A, B, C … называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

. (8)

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

. (9)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

. (10)

На практике часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность события, которое может произойти с одним из несовместимых событий, образующих полную группу. Следующая теорема является следствием теорем сложения и умножения вероятностей и допускает нахождение вероятности полных событий.

Теорема: Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий H₁, H₂,…,H_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из них на соответствующую условную вероятность события А, т.е.

- формула полной вероятности

формула Байеса

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Примеры случайных величин:

1. число выпавших гербов при пятикратном бросании монеты,

2. число бракованных изделий в случайно отобранной партии из 20 изделий,

3. дальность полета артиллерийского снаряда,

4. наружный диаметр трубы,

5. число мальчиков, родившихся за сутки в определенной стране.

В примерах 1,2,5 случайная величина может принимать отдельные изолированные значения, которые заранее можно перечислить. Так, в примере 1 такими значениями являются 0,1,2,3,4,5, в примере 2 – 0,1,2,3…20, в примере 5 – 0,1,2,3 … . Подобные случайные величины называются дискретными (прерывными).

Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Закон распределения случайной величины можно задать так же, как и в математическом анализе функцию одного аргумента, используя табличный, графический или аналитический способ задания. Рассмотрим первый из них. При табличном способе задания закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая – соответствующие вероятности.

х	х1	х2	…	хn
p	p1	p2	…	pn

Эта таблица называется рядом распределения.

Ряд распределения можно задать графически, если по оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Соединив точки (x_i; y_i) последовательно отрезками прямой линии, получим ломанную, которая называется многоугольником распределения.

Для решения многих практических задач совсем необязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать отдельные числовые параметры, которые позволяют в удобной форме отразить существенные особенности случайной величины, являющиеся не функциями, а числами, называют числовыми характеристиками.

Возможные значения случайной величины могут быть сосредоточены вокруг некоторого центра. Этот центр является некоторым средним значением случайной величины, вокруг которого группируются остальные ее значения. Для характеристики такой особенности распределения случайной величины служит математическое ожидание, которое иногда называют центром распределения или средним значением случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности появления этих значений, т.е.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины распределены по всей оси ох, то . Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует.

На практике также встречаются величины, имеющие одинаковые математические ожидания, но принимающие резко отличающиеся значения. У одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, а у других, наоборот, значительны, т.е. для одних рассеивание значений случайной величины вокруг математического ожидания мало, а для других оно велико.

Таким образом, математическое ожидание характеризует поведение случайной величины далеко не полностью.

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины х от ее математического ожидания называют дисперсией случайной величины и обозначают D, т.е. .

Задание 1: Дискретная случайная величина задана следующим рядом распределения. Найти математическое ожидание случайной величины.

х	2	5	8	19
р	0,2	0,3	0,4	0,1

Решение:

Задание 2: Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

Найдите математическое ожидание этой случайной величины.