Общая схема исследования функции и построения ее графика.
1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
Функция называется непрерывной в точке а, если функция определена в некоторой окрестности точки а и существует предел функции при х стремящемся к а, равный значению функции в этой точке а.
Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке. Точки, в которых нарушается условие непрерывности функции, называются точками разрыва.
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Найти точки пересечения с осями координат
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции. (Рисунок 1.)
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции.
8. Найти наклонные асимптоты функции.
9. Построить график функции.
Рисунок 1.
Функция
называется первообразной для функции
,
если
.
Общее выражение
совокупности всех первообразных для
функции
называется неопределенным интегралом
от этой функции. Проинтегрировать
функцию
- значит найти ее неопределенный интеграл.
Непосредственное интегрирование
основано на прямом использовании
основных свойств неопределенного
интеграла и таблицы простейших интегралов.
Задача 6. Найдите интеграл:
В основе интегрирования способом подстановки лежит свойство инвариантности формул интегрирования.
Задача 7. Найдите интеграл:
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
При этом в качестве u берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве v– та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так при нахождении интегралов вида:
за u следует принять
многочлен
.
При нахождении интегралов вида:
за uпринимаются функции
Например,
Для любой функции 
,
непрерывной на отрезке
всегда существует определенный интеграл.
Для вычисления определенного интеграла
от функции
в
том случае, когда можно найти соответствующий
неопределенный интеграл, служит формула
Ньютона-Лейбница:
т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Самостоятельная работа №1.
Вид работы: повторение материала на тему «Производная функции. Физический и геометрический смысл производной».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
1. Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.7, с.130-152; МУ: с.16).
2. Подготовьте краткий конспект в рабочей тетради согласно плану:
- понятие производной функции;
- физический и геометрический смысл производной;
- производные элементарных функций;
- правило вычисления производной сложной функции.
Самостоятельная работа №2.
Вид работы: подготовка к практической работе №2 на тему «Преобразование графиков функции».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
Повторите теоретический материал по теме работы ([1]: Гл.5).
Ответьте на вопросы:
- Что называется функцией?
- Что называется областью определения функции? Областью значения функции?
- Какие функции называются четными?
- Какие функции называются нечетными?
- Какие функции называются возрастающими? Убывающими?
- Какие функции называются монотонными?
- Дайте определение промежутков знакопостоянства функции?
Самостоятельная работа №3.
Вид работы: повторение материала по теме «Первообразная. Неопределенный интеграл».
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
Повторите теоретический материал по теме ([2]: с.138-140).
Решите в рабочей тетради задачи: [2]: с.147 №188, № 192, № 194, № 201
Самостоятельная работа №4.
Вид работы: решение вариативных задач и по образцу
Форма организации работы: коллективная.
Порядок выполнения работы:
Решите задачи по номеру вашего варианта:
Задание 1. Найдите неопределенные интегралы от заданных функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задание 2. Вычислите определенные интегралы от заданных функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задание 3. Исследуйте функцию и постройте её график.
Ответьте на вопросы:
- Какие функции называются возрастающими? Убывающими?
- Какие функции называются монотонными?
- Что называется точкой максимума? Минимума?
- Какие точки называются точками экстремума?
- В чем заключается необходимое условие экстремума; монотонности?
- В чем заключается достаточное условие экстремума; монотонности?
- Сформулируйте второй признак экстремума.
- Что называется асимптотой?
- Сформулируйте алгоритм исследования функции на асимптоты.
- Что называется первообразной функции?
- Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
- Какие методы интегрирования вы знаете?
- Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.