3.3 Метод линейной интерполяции (метод секущих, метод хорд)

Пусть корень уравнения (3.1) отделен на отрезке , т.е. , и .

Через точки и проведем прямую (секущую, хорду), задаваемую уравнением (рис. 3.3). Точка пересечения этой секущей с осью абсцисс будет лежать близко к искомому корню . Ее значение находится по формуле .

Т

Рис. 3.3

еперь сузим интервал: обозначим через тот из двух получившихся отрезков и , на концах которого функция принимает разные знаки: (рис.3.3). Через точки и опять проведем секущую и найдем - точку ее пересечения с осью абсцисс: (рис. 3.3).

Отрезок опять разделим точкой и обозначим через тот из двух получившихся отрезков, для которого .

Продолжая сужать интервалы, получим последовательность приближенных значений корня, вычисляемых по формуле

(3.3)

сходящуюся к искомому корню уравнения (3.1).

Процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие , где - заданная точность, - номер итерации. В качестве приближенного решения уравнения (3.1) возьмем значение, полученное на последней итерации: .

Замечание: В программе Excel существует возможность приближенного решения уравнений с помощью процедуры Подбор параметра (Меню → Сервис → Подбор параметра). Процедура Подбор параметра содержит 3 поля: «Установить в ячейке», «Значение», «Изменяя значение ячейки». В поле «Установить в ячейке» вводится ячейка, в которой содержится функция . В поле «Значение» вводится число, которому должна быть равна функция (в случае решения уравнения (3.1) - нулю). В поле «Изменяя значение ячейки» указывается ячейка, содержащая искомое значение аргумента ; на эту ячейку должна ссылаться формула, содержащаяся в ячейке, адрес которой указан в поле «Установить в ячейке».

3.4 Варианты заданий

1. Найти корни уравнения (табл.3.1,столбец 2) методами дихотомии, Ньютона, линейной интерполяции с точностью , а также с помощью процедуры Подбор параметра. Сравнить результаты.

2. Одним из приближенных методов определить годовую процентную ставку (проценты начисляются раз в году), под которую был выдан кредит в размере , погашаемый равными ежегодными платежами размером . Формула для суммы кредита имеет вид: . Величины даны в таблице 3.1 (столбцы 3, 4, 5).

3. Одним из приближенных методов определить годовую внутреннюю доходность облигации . Параметры облигации: текущая рыночная стоимость , платежи по облигации и сроки их поступления (в годах, отмеряемые от текущего момента), частота начисления процентов в году даны в таблице (3.1) (столбцы 6-13). Годовая внутренняя доходность может быть найдена из уравнения .

Таблица 3.1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Вар.	Уравнение	A, д.е.	n	R, д.е.	P д.е.	C1 д.е.	C2 д.е.	C3 д.е.	t1	t2	t3	m
1		11000	5	3000	120	10	20	130	0,5	1	1,5	6
2		10000	6	2500	200	20	40	250	0,5	1	2,5	12
3		11500	7	2400	140	15	20	170	1	1,5	2	2
4		9000	8	1800	110	20	25	150	0,5	2	3	4
5		8000	9	1500	300	30	40	420	1	2	2,5	6
6		7500	10	1300	180	25	30	220	0,5	1,5	2,5	12
7		7400	11	1200	85	10	15	120	0,5	1	3	2
8		6800	12	1000	130	25	20	180	1	2	3	4
9		5500	13	800	180	30	25	250	1	2,5	3	6
10		3600	14	500	270	40	35	320	0,5	1,5	2	12