Раздел II. Математический анализ работа № 3. Приближенное решение уравнений

Цель работы: освоение методов приближенного решения уравнений, приобретение навыков приближенного решения уравнений с использованием табличного процессора Excel.

При решении экономических задач часто приходится иметь дело с нелинейными уравнениями, решение которых можно найти лишь приближенно. Такая ситуация возникает, например, в задачах определения доходности облигаций, процентной ставки аннуитета и других.

Для приближенного решения уравнений успешно применяются так называемые итерационные методы, когда процесс решения состоит из нескольких шагов (итераций), на каждом из которых вычисляется приближенное значение корня уравнения. Причем на каждом последующем шаге приближенное значение корня вычисляется по значению корня, найденному на предыдущем шаге.

Пусть требуется решить уравнение

, (3.1)

где - заданная функция от . Искомый корень уравнения обозначим .

Во многих итерационных методах предполагается, что корень отделен на интервале , т.е. известен интервал , содержащий искомый корень, причем этот корень на интервале - единственный. Отделить корень можно графическим методом: построить график функции и визуально определить интервал, содержащий точку пересечения с осью абсцисс; или аналитически, основываясь на следующем свойстве функции: если функция непрерывна вместе со своими производными и на интервале , принимает на его концах значения разных знаков, и обе производные и сохраняют знак на всем интервале , то внутри интервала существует единственный корень уравнения . После того, как корень уравнения отделен, можно вычислить его значение одним из итерационных методов с заданной точностью.

Рассмотрим приближенные итерационные методы решения уравнения (3.1): метод деления отрезка пополам (метод дихотомии), метод линейной интерполяции и метод Ньютона.

3.1 Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии)

Пусть корень уравнения (3.1) отделен на отрезке , т.е. . Кроме того, .

Разделим отрезок пополам точкой и обозначим через тот из двух получившихся отрезков и , на концах которого функция принимает разные знаки: (рис.3.1). Получившийся отрезок опять разделим пополам точкой и обозначим через тот из двух получившихся отрезков, для которого .

П

Рис. 3.1

родолжая процесс деления, получим последовательность вложенных отрезков, внутри которых и находится искомый корень уравнения (3.1). Несколько начальных шагов этого алгоритма показаны на рис.3.1.

Процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие , где - заданная точность, - номер итерации. В качестве приближенного решения уравнения (3.1) возьмем середину отрезка : .

3.2 Метод ньютона (метод касательных)

П

Рис. 3.2.

усть корень уравнения (3.1) отделен на отрезке , и известно приближенное решение уравнения (3.1) такое, что . В качестве начального приближения можно выбрать, например, точку .

Рассмотрим в точке касательную к кривой , задаваемую уравнением . Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс: (рис. 3.2). Затем построим касательную в точке и найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс: . Затем снова построим касательную и т.д. (рис. 3.2). По рис.3.2 видно, что итерационная последовательность , задаваемая формулой

, , (3.2)

сходится к искомому решению уравнения (3.1). Процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие , где - заданная точность, - номер итерации. В качестве приближенного решения уравнения (3.1) возьмем значение, полученное на последней итерации: .