1.3.Пример разложения периодического сигнала вряд Фурье

Рассмотрим пример представления периодического сигнала суммой элементарных гармоник. Пусть сигнал задан функцией на интервале [0,2]. График данной функции представлен на рис.5.

Рис.5. Сложный периодический сигнал

Период функции T=2. Следовательно, частота

Тогда угловая частота

В этом случае разложение функции f(t) в ряд Фурье вида (18) примет следующий вид:

(18)

Найдем коэффициенты С₀, С_n и С_-_n:

Рассмотрим интегралы в квадратных скобках по отдельности.

Также можем получить значение коэффициента С_n:

Поделав аналогичные вычисления для коэффициента С_-_n, получим

Найдя выводы для C₀, C_n, C_-_n, подставив их в выражение разложения функции f(t), получим

Таким образом получили

Сложный сигнал, представленный функцией f(t), является суммой простых гармонических сигналов. На рис. 6 представлено приближение функции f(t) суммой гармоник в зависимости от числа приближений n (см. пример 1).

Рис. 6. Приближение функции суммой гармоник в зависимости от числа n

Изменение амплитуды гармонического сигнала в зависимости от номера гармоники n представлено на рис.7.

Рис.7. Изменение амплитуды гармонического сигнала

1.4. Выводы.

На основе проведенного анализа сложного периодического сигнала можно сделать следующие выводы:

датчик, установленный в какой-либо точке исследуемой механической системы, измеряет функцию времени в виде

;

функция времени имеет стандартный вид: ;
вибрация механической системы есть суперпозиция гармонических колебаний и затухающих собственных колебаний (с демпфированием);
любой периодический сигнал может быть представлен в виде суммы простых гармоник.

1.5.Задание для самостоятельной работы

Разложить в сумму простых гармоник приведенные ниже периодические функции.

Представить графически приближение периодической функции суммой гармоник в зависимости от числа приближений.

Построить график изменения гармонического сигнала в зависимости от номера гармоники.

№	Функция	Интервал	График
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27
28
29