Задачи для самостоятельного решения Группа а

Найти производную функции

Группа b

Найти производную функции (1-4)

1.	3. .
2. .	4. .

5. Найти наибольшее значение функции на отрезке .

(Ответ: .)

6. Найти наименьшее значение функции на отрезке . (Ответ: .)

7. Найти точку минимума функции (Ответ: .)

8. Найти точку максимума функции (Ответ: 9.)

11. Комплексные числа

11.1. Определение комплексных чисел

Многие задачи математики, физики и практики сводятся к решению алгебраических уравнений. Однако не все алгебраические уравнения с действительными коэффициентами имеют действительные корни (например, .) Поэтому приходится расширять множество действительных чисел таким образом, чтобы стала возможной операция извлечения корня четной степени из отрицательного числа.

Определение 11.1. Комплексным числом называется выражение вида (алгебраическая форма комплексного числа), где , - действительные числа; - некоторый символ, такой, что .

Определение 11.2. Комплексное число называется сопряженным комплексному числу .

Определение 11.3. Число называется действительной (реальной) частью комплексного числа (обозначают ). Число - его мнимой частью (обозначают ). Число называют мнимой единицей.

11.2. Действия над комплексными числами

Определение 11.4. Комплексные числа и называются равными тогда и только тогда, когда равны их мнимые и действительные части:

Пусть заданы два комплексных числа и . Тогда можно ввести следующие операции над этими числами.

1. Суммой двух комплексных чисел называется число

;

2. Разностью комплексных чисел и называется число

;

3. Произведением чисел и называется число

;

4. Частным от деления числа на называется число

.

Замечание 12.1. Таким образом, операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 11.1. Даны комплексные числа . Найти

.

Решение. 1) .

2) .

3)

.

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

.

11.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Комплексное число можно изобразить на координатной плоскости (комплексной области) точкой с координатами , либо радиус-вектором (рис. 11.1).

	Определение 11.5. Длина вектора называется модулем комплексного числа: . Определение 11.6. Угол , образованный вектором и осью называется аргументом комплексного
рис. 11.1.

числа. Обозначают , причем

, .

Здесь - главное значение аргумента.

Замечание 11.2. Из рис. 12.1 видно, что справедливы следующие равенства: , .

Учитывая замечание 12.2, можно сформулировать следующее определение.

Определение 11.7. Тригонометрической формой комплексного числа называется запись вида

.

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть , , тогда

,

.

Возведение комплексного числа в натуральную степень находится по формуле

.

(11.1)

Корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений, которые выражаются формулой

, где .

(11.2)

Замечание 11.1. Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Формулы (11.1) и (11.2) называются формулами Муавра-Лапласа.

Определение 11.8. Показательной формой комплексного числа называется запись вида

.

Пример 11.2. Записать комплексное число в алгебраической форме.

Решение. .

Пример 11.3. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) , откуда .

2) , откуда .

3) , откуда .

Пример 11.4. Вычислить .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме: , , следовательно,

.

Тогда в силу формулы (11.1) имеем

.

Пример 11.5. Найти все значения корня: .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме: , , следовательно,

.

Тогда в силу формулы (11.2) получаем

, где .

При : .

При : .

При : .