10.2. Приложения производной Исследование функции с помощью производной.

Теорема 10.1. (Достаточное условие возрастания функции). Если в каждой точке интервала производная функции , то функция возрастает на этом интервале.

Теорема 10.2. (Достаточное условие убывания функции). Если в каждой точке интервала производная функции , то функция убывает на этом интервале.

Определение 10.2. Точка называется точкой минимума функции , если для всех из некоторой окрестности точки выполнено неравенство

Определение 10.3. Точка называется точкой максимума функции , если для всех из некоторой окрестности точки выполнено неравенство .

Замечание 10.1. Для точек максимума и минимума функции принято общее название – точки экстремума функции. Значения в этих точках называют соответственно максимумами ( ) и минимумами ( ) функции.

Теорема 10.3. (Необходимое условие экстремума функции). Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы производная в этой точке равнялась нулю ( ) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, то есть производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Отметим, что эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-то точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Однако, обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Теорема 10.4. (Достаточное условие экстремума функции). Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, то точка минимума.

Схема нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции

Найти область определения функции.
Найти производную функции.
Найти критические точки.
В каждом из интервалов, а которые область определения разбивается критическими точками, определить знак производной и характер изменения функции.
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.
Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Теорема 10.5. Непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений

Функции на отрезке.

Найти производную функции.
Найти критические точки функции и выбрать те, которые принадлежат данному отрезку.
Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 10.11. Найти точку максимума функции .