Задачи для самостоятельного решения Группа а
Решить систему (1-8)
1.
(Ответ:
.)
2.
(Ответ:
.)
3.
(Ответ:
.)
4.
(Ответ:
.)
5.
(Ответ:
.)
6.
(Ответ:
.)
7.
(Ответ:
,
.)
8.
(Ответ:
;
.)
Группа b
Решить систему (1-16)
1.
(Ответ:
.)
2.
(Ответ:
.)
3.
(Ответ:
.)
4.
(Ответ:
,
.)
5.
(Ответ:
.)
6.
(Ответ:
.)
7.
(Ответ:
.)
8.
(Ответ:
.)
9.
(Ответ:
.)
10.
(Ответ:
.)
11.
(Ответ:
.)
12.
(Ответ:
.)
13.
(Ответ:
.)
14.
(Ответ:
;
,
.)
15.
(Ответ:
,
.)
16.
(Ответ:
,
,
.)
Группа с
Решить систему (1-9)
1.
(Ответ:
.)
2.
(Ответ:
.)
3.
(Ответ:
,
.)
4.
(Ответ:
.)
5.
(Ответ:
.)
6.
(Ответ:
.)
7.
(Ответ:
.)
8.
(Ответ:
,
.)
9.
(Ответ:
,
.)
10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
10.1. Понятие производной функции.
Правила дифференцирования.
Определение
10.1. Производной
функции
в точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке
к приращению аргумента
при
(если
такой предел существует):
.
Геометрический смысл производной
Производная в
точке
равна угловому коэффициенту касательной
к графику функции
в этой точке (рис. 10.1).
|
|
|
|
|
|
рис. 10.1. |
||
Уравнение
касательной
к графику функции
в точке
:
.
Правила нахождения производной
Если у функций
и
существуют производные, то
|
|
|
|
,
где
Производная сложной функции
Если
и существуют производные
и
,
то
,
где индексы
и
указывают, по какому аргументу берутся
производные.
Производные элементарных функций
№ |
Функция
|
|
№ |
Функция |
|
1 |
|
|
11 |
|
|
2 |
|
|
12 |
|
|
3 |
|
|
13 |
|
|
4 |
|
|
14 |
|
|
5 |
|
|
15 |
|
|
6 |
|
|
16 |
|
|
7 |
|
|
17 |
|
|
8 |
|
|
18 |
|
|
9 |
|
|
19 |
|
|
10 |
|
|
20 |
|
|
Пример 10.1. Найти
производную функции
.
Решение. Применяя формулы и правила дифференцирования, получаем:
.
Ответ:
.
Пример 10.2. Найти
производную функции
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 10.3. Найти
производную функции
.
Решение.
.
.
Ответ:
.
Пример 10.4. Найти
производную функции
.
Решение.
.
Ответ: .
Пример 10.5. Найти
производную функции
.
Решение.
Положим
,
тогда
.
Согласно правилу дифференцирования
сложной функции, имеем
.
Ответ:
.
Пример 10.6. Найти
производную функции
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 10.7. Найти
производную функции
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 10.8. Найти
производную функции
.
Решение.
.
Ответ:
.
Пример 10.9. Найти
производную функции
.
Решение.
=
.
Ответ:
.
Пример 10.10. Найти
производную функции
.
Решение. Преобразуем данную функцию:
,
тогда получим
,
или
.
Ответ:
.