Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие - Школьный курс - часть 3.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

4.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

8.3. Тригонометрические неравенства

Определение 8.5. Неравенства, содержащие тригонометрические функции, называются тригонометрическими.

При решение тригонометрических неравенств используют периодичность тригонометрических функций и их монотонность на соответствующих промежутках.

Функции и имеют наименьший положительный период . Поэтому неравенства вида

, , , ,

, , ,

достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины , тогда множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида , .

Пример 8.32. Решить неравенство .

Решение. На отрезке функция монотонно убывает, а уравнение имеет одно решение (рис. 8.2)

рис. 8.2.

На отрезке функция монотонно возрастает, и уравнение имеет решение .

Значения из отрезка являются решениями данного неравенства на отрезке . Таким образом, множество решений неравенства на отрезке есть объединение отрезков .

Функция периодична с периодом , поэтому все значения , каждое из которых удовлетворяет неравенствам

, , ,

являются решениями исходного неравенства или

, .

Ответ можно записать в более компактном виде:

, .

Неравенства вида

, , ,

удобно решать сначала на интервале , а неравенства вида

, , , –

на интервале .

Так как функции и имеют период , поэтому прибавляя к найденным на соответствующих интервалах решениям числа вида , , получим все решения данных неравенств.

Пример 8.33. Решить неравенство .

рис. 8.3.

Решение. На интервале функция монотонно возрастает и уравнение имеет одно решение (рис. 8.3). Решениями данного неравенства на всей числовой прямой являются

, ,

или , .

Ответ: , .

Пример 8.34. Решить неравенство .

Решение. Преобразуем выражение в левой части неравенства:

тогда

(рис. 8.4).

Ответ: ; .


рис. 8.4.	рис. 8.5.

Замечание 8.1. При решении тригонометрических неравенств можно вместо числовой оси использовать числовую окружность, которая корнями тригонометрических уравнений разбивается на дуги. Затем применяется метод интервалов.

Пример 8.35. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ , . Найдем корни уравнения

Отметим найденные корни и ОДЗ на тригонометрической окружности (рис. 8.5). При переходе через точку, как и в традиционном методе интервалов, знак неравенства меняется на противоположный. Для определения знака, присущего каждой дуге, возьмем, например, точку и определим знак неравенства в этой точке: