4. Уравнения

4.1. Основные понятия

Определение 4.1. Уравнением называется равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.

Уравнение с одной переменной имеет вид:

,

где , - некоторые функции переменной .

Множество значений переменной , при которых определены функции и , называется областью определения уравнения или областью допустимых значений (ОДЗ).

Определение 4.2. Корень (решение) уравнения – число, которое при подстановке его в уравнение вместо переменной, превращает данное уравнение в верное равенство. Решить уравнение, значит найти все его корни (решения) или доказать, что корней (решений) нет.

Определение 4.3. Равносильные уравнения – уравнения, множества корней (решений) которых совпадают. В частности, если оба уравнения не имеют корней, то они равносильны.

Замечание 4.1. Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения , полученного после некоторых преобразований из уравнения , то уравнение называют следствием уравнения .

Замечание 4.2. Если каждое из двух уравнений является следствием другого из них, то такие уравнения являются равносильными.

4.2. Линейные уравнения

Определение 4.4. Линейное уравнение – это уравнение вида , где , - переменная.

Число корней линейного уравнения зависит от значений и . При линейное уравнение имеет единственное решение ; при , - не имеет решений; при , - принимает вид и имеет бесконечное множество решений: .

Пример 4.1. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на НОК(2; 4; 3)=12:

,

(единственное решение).

Ответ: 62.

Пример 4.2. Решить уравнение: .

Решение. . Не существует таких , которые удовлетворяют последнему уравнению, значит, исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 4.3. Решить уравнение .

Решение. . Любое

удовлетворяет последнему уравнению, а значит и исходному. Таким образом, уравнение имеет бесконечно много решений.

Ответ: .

4.3. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним

Определение 4.5. Квадратным уравнением называется уравнение вида , где и , - переменная, при этом (при уравнение превращается в линейное.)

Если или , а также в случае одновременного равенства нулю этих коэффициентов квадратное уравнение называют неполным и решают стандартными способами разложения на множители.

Пример 4.4. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является неполным ( ), вынесем за скобки общий множитель, тогда имеем:

Ответ: 0; 2.

Пример 4.5. Решить уравнение .

Решение. ( ): .

Ответ: .

Для решения полного квадратного уравнения используют обычную формулу корней квадратного уравнения:

, где - дискриминант квадратного уравнения.

Возможны три различных случая:

1. если , то уравнение имеет два различных действительных корня

, ;

2. если , то уравнение имеет два одинаковых действительных корня

;

3. если , то уравнение не имеет действительных корней.

Пример 4.6. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является полным, здесь , , , , тогда получаем два различных действительных корня:

, .

Ответ: ; .

Определение 4.6. Уравнение вида , где называется приведенным квадратным уравнением.

Замечание 4.3. Для решения приведенного квадратного уравнения, часто используют теорему Виета: , .

Пример 4.7. Решить уравнение: .

Решение. В силу теоремы Виета , , откуда очевидно , .

Ответ: 2; 3.