1.2. Рациональные числа

Рациональные числа – это числа вида , где - целое число, а - натуральное. Множество рациональных чисел обозначают буквой . При этом выполняется соотношение , так как любое целое число можно представить в виде . Таким образом, можно сказать, что рациональные числа – это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби.

Десятичные дроби – это такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель – единица с нулями, то есть 10; 100; 1000 и т.д. Десятичные дроби записывают без знаменателей. Сначала пишется целая часть числа, справа от нее ставится запятая; первая цифра после запятой означает число десятых, вторая – сотых, третья – тысячных и т.д. Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.

Бесконечной называется десятичная дробь, у которой после запятой бесконечно много цифр.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если у нее, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется, непосредственно следуя одна за другой. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом и записывают в скобках. Например, .

Верно и обратное утверждение: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Перечислим некоторые сведения о периодических дробях.

1. Если период дроби начинается сразу после запятой, то дробь называется чисто-периодической, если не сразу после запятой – смешанно-периодической.

Например, 1,(58) – чисто-периодическая дробь, а 2,4(67) – смешанно-периодическая.

2. Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители содержатся лишь числа 2 и 5, то запись числа в виде десятичной дроби представляет собой конечную десятичную дробь; если в указанном разложении есть другие простые множители, то получится бесконечная десятичная периодическая дробь.

3. Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители не содержатся числа 2 и 5, то запись числа в виде десятичной дроби представляет собой чисто-периодическую десятичную дробь; если в указанном разложении, наряду с другими простыми множителями, есть 2 или 5, то получится смешанно-периодическая десятичная дробь.

4. У периодической дроби период может быть любой длины, то есть содержать любое количество цифр.

1.3. Иррациональные числа

Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Примерами иррациональных чисел служат корни из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел. Например, , . Иррациональными являются числа ; . Множество иррациональных чисел обозначают буквой .

Пример 1.10. Доказать, что - иррационально число.

Решение. Предположим, что - рациональное число. Очевидно, оно не является целым, а поэтому , где и - несократимая дробь; значит, числа и взаимно простые. Так как , то , то есть .

Последнее равенство означает, что , откуда , то есть - сократимая дробь, что противоречит условию. Следовательно, сделанное предположение о рациональности числа неверно и является иррациональным числом.