2. Уравнение волны

Рассмотрим колебания частиц среды, находящихся в точке r = 0. Смещение х₀ в этой точке зависит от времени по закону sin или cos

x(r, t) = x₀(0, t) = А cos (ω₀t)

Запишем теперь смещение в точке М, удаленной на расстояние r = cτ от начала координат. Из рис. 22 видно, что колебание среды в точке М происходит так же, как они происходили в точке r = 0 раньше, в момент времени r – τ. Поэтому

x_М(r, t) = x₀(0, t - τ) = А cos [ω₀ (t - τ)].

Подставив и имеем уравнение волны

Полученная формула описывает смещение среды в произвольной точке r в любой момент времени t (см. рис. 22).

Рис. 22. График волн в момент времени t (сплошная линия)

и в момент времени t – τ (пунктир)

3. Энергия, переносимая волной

Волна не переносит вещество, но вовлекает в гармонические колебания все новые частицы среды и, следовательно, переносит энергию. За время t фронт волны распространяется на расстояние ct и, значит, волна приводит в движение частицы в объеме V = ctS. Число частиц в объеме V равно и если ω – средняя энергия частицы, это энергия, переносимая за время t, равна

.

Интенсивность I – есть энергия, которая переносится через единицу площади за единицу времени

Поскольку средняя энергия частицы массой m при гармонических колебаниях равна

,

то

.

Интенсивность волны пропорциональна плотности среды ρ, скорости распространения волн с, квадрату частоты ω² и квадрату амплитуды А².

Человеческое ухо воспринимает интенсивность звуковых волн как громкость. Ощущение громкости β пропорционально логарифму интенсивности

Человек воспринимает звуки в интервале частот от 20 Гц до 20000 Гц (у детей – до 40000 Гц). После 40 лет этот интервал сужается сверху на 80 Гц через каждые полгода. Каждая определенная частота колебаний ω воспринимается как чистый тон.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Нарисуйте две волны, интенсивности которых отличаются в 2 раза.

2. Нарисуйте волну, интенсивность которой в 4 раза больше, а частота в 2 раза меньше, чем у первоначальной волны.

4. Скорость звука

Звук – это периодическое сжатие и разрежение воздуха. Такое сжатие передается от одних молекул другим путем столкновения молекул. Между столкновениями молекулы движутся со скоростями, характерными для хаотического теплового движения. Поэтому скорость распространения звука – это, фактически, скорость беспорядочного движения молекул.

Как известно, средняя кинетическая энергия беспорядочного движения молекул пропорциональна температуре

.

Поэтому скорость звука

.

Поскольку kN_A = R и mN_A = M, то

.

Скорость звука пропорциональна корню из абсолютной температуры Т^1/2 и обратно пропорциональна корню из молекулярной массы газа М^-1/2.

Точная формула для скорости звука имеет вид

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. На рис. 23 приведены зависимости скорости звука от температуры в логарифмическом масштабе для паров воды и неона.

Какая прямая соответствует какому газу?

Рис. 23. Зависимость скорости звука от температуры

2. Скорость звука в воздухе υ_зв ≈ 332 м/сек. Какова будет скорость звука в газообразном гелии?