4. Силы, вызывающие гармонические колебания

Поскольку при гармонических колебаниях

А = -ω₀²х,

то, следовательно, возвращающая сила F равна

F – ma = -mω₀²x.

Итак, гармонические колебания вызываются упругими силами. Напомним, что упругими называют силы, величина которых пропорциональна смещению

F_упр = -kx/

Коэффициент упругости k имеет размерность

и зависит только от материала пружины.

Очевидно, k = mω₀², откуда следует, что собственная частота гармонических колебаний зависит только от отношения коэффициента упругости к массе колеблющегося тела.

.

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором. Период собственных колебаний гармонического осциллятора определяется отношением массы m к коэффициенту упругости системы k:

Формулу ω₀² =k/m можно записать в виде

Возвращающая сила и смещение в маятнике показаны на рис. 8.

Для маятника х = lsinΘ; F_возвр. = mgsinΘ.

Рис. 8. Смещение х и возвращающая сила F_возвр в маятнике

Поэтому

,

откуда следует

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. На одинаковых пружинах висят грузы m₁ и m₂ – см. рис. 9, причем m₂ > m₁. У какого груза период колебаний больше?

2. На разных пружинах висят грузы m₁ и m₂ (m₂ > m₁) – см. рис. 10. При подвешивании грузов оказалось, что удлинения пружин одинаковы. Для какого груза период колебаний будет больше?

Рис. 9 Рис. 10

5. Энергия гармонического осциллятора

Колеблющееся тело (осциллятор) обладает кинетической энергией и потенциальной W_пот.

Поскольку х = Аcos(ω₀t), то

,

Потенциальная энергия зависит от смещения х и равна

Подставляя х = Аcos(ω₀t) и k = ω₀²m, имеем

Зависимости W_кин(t) и W_пот(t) показаны на рис. 11.

Рис. 11. Зависимость смещения х, кинетической энергии и

потенциальной энергии от времени t

Полная энергия осциллятора равна

(2)

Итак: полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна его массе, квадрату собственной частоты и квадрату амплитуды.

Заменив ω₀² = k/m, получаем, что полная энергия пропорциональна коэффициенту упругости и квадрату амплитуды (2).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Два тела одинаковой массы (m₁ = m₂) гармонически колеблются – рис. 12. Какое колебание обладает большей энергией?

Рис. 12. Зависимость смещения х при гармонических колебаниях

от времени t

6. Колебания под действием внешней периодической силы

Пусть на тело действует внешняя периодическая сила с частотой ω – см. рис. 13.

Рис. 13. Зависимость внешней (вынуждающей) силы от времени

Если такая сила действует на материальную точку, то эта точка будет колебаться тоже с частотой ω.

Рассмотрим теперь действие периодической силы на осциллятор, то есть на систему, обладающую внутренней, упругой силой F_упр.

Результирующая сила равна

F_рез = F_внешн + F_упр = F₀cos(ωt) – kx

и по 2-му закону Ньютона, ускорение системы

(3)

(напомним, что собственная частота ).

Будем искать зависимость смещения х от времени в виде периодического колебания с частотой, равной частоте внешней силы:

х = Аcos(ωt)

Тогда

Подставим х и а в уравнение Ньютона (3)

.

Тогда

(4)

Итак,

под действием внешней периодической силы тело колеблется с амплитудой, зависящей от частоты внешней силы ω и собственной частоты ω₀.