
- •Е.Д. Эйдельман, а.Л.Липин
- •Часть I
- •§ 2. Энергия
- •§ 3 Вращательное движение. Атом Бора.
- •Глава II Электромагнетизм
- •§ 4. Электрическое поле
- •§ 5. Ионы и молекулы как точечные заряды и диполи.
- •§ 6. Электрический ток.
- •§ 7. Магнитное поле.
- •§ 8 Электромагнетизм
- •§ 9. Идеальный газ.
- •§ 10. Термодинамика.
- •§ 11. Статистика молекул.
- •§ 12. Явления переноса.
- •§ 13. Уравнение Навье–Стокса. Движение жидкости в трубах.
- •§ 14. Уравнения масс– и теплопереноса.
§ 3 Вращательное движение. Атом Бора.
Таблица
Соответствие характеристик движения по прямой (прямолинейного)
и движения по окружности (вращательного)
Прямолинейное движение |
Связь |
Вращательное движение |
1 |
2 |
3 |
Проекция по оси – положительна, против – отрицательна |
|
Поворот против часовой стрелки – положителен, по часовой – отрицателен |
Скорость = dx/dt (м/с) |
=Rω |
Угловая скорость ω=dφ/dt (1/с; рад/с) |
Равноускоренное движение
= о
x = xо
оt
|
|
Равноускоренное вращение ω = ωо εt;
φ = φо
ωоt
|
Ускорение
а =
|
Центростре–мительное ускорение а = ω2R |
Угловое ускорение
ε=
|
Масса движущегося тела (кг)
m =
|
J = mR2 |
Момент инерции вращающегося тела J = Ji (кг.м2) |
Сила F (H) |
ℓ – плечо М = F.ℓ |
Момент силы М (н.м) |
Путь (смещение) Х, S (м) |
S = Rφ |
Угол поворота (Угловое смещение) φ (рад) |
Геометрическая сумма
а =
|
|
Алгебраическая сумма
ε =
|
Используя эту таблицу легко сопоставить и многие другие характеристики поступательного и вращательного движения.
Продолжение таблицы 2.
Поступательное движение |
Вращательное движение |
|
Импульс
р = m
(кг |
Момент импульса L = J (кг
|
В замкнутой системе
Закон сохранения импульса Закон сохранения момента
=
const
импульса (момента)
=const
геометрическая сумма алгебраическая сумма
Кинетическая энергия
Wк
=
Wк
=
Колебания груза на пружине Крутильные колебания
Х
= хm
sin
φ
= φm
sin
Период колебаний
Пружинный маятник Крутильный маятник
T
= 2π
T
= 2π
где к – жесткость пружины (н/м) где f – жесткость подвеса (н.м)
Закон сохранения энергии
в замкнутой и изолированной системе
Wк1 + Wп1 = Wк2 + Wп2 Wк1 + Wп1 = Wк2 + Wп2
Стержень массой m и длиной l, если ось вращения проходит через его середину,
перпендикулярную самому стержню, имеет момент инерции
J
=
ml2
(3.1.)
Тот же стержень, но с осью вращения, находящейся на конце стержня, имеет момент инерции
J
=
ml2.
(3.2.)
Плоский диск, массой m и радиусом R, относительно перпендикулярной его плоскости оси, проходящей через центр диска, имеет момент инерции, равный
J=
mR2
.
(3.3.)
Наконец, шар массой m и радиусом R, относительно оси вращения, проходящий через центр, имеет момент инерции
J
=
mR2.
(3.4.)
3.1. Рассчитайте момент инерции трех точек одинаковой массы m на невесомой спице длиной l при различных положениях оси. (см. рис. 3.1.)
Рис. 3.1.
Попытайтесь угадать сразу, в каком случае момент инерции будет больше? Догадку запишите до начала решения.
3.2. В формулах моментов инерции для различных тел (3.1.)–(3.4.) укажите часть, определяемую размерностью момента инерции, обратите внимание на то, что эта часть практически одинакова ( с точностью до обозначений) во всех формулах.
3.3. Может ли момент силы равняться нулю, если приложенная сила не равна нулю?
3.4. Используя связи α = R и M = F l, получите основное уравнение динамики вращательного движения из второго закона Ньютона вращательного движения.
3.5.
Запишите формулу для изменения момента
импульса, если формула для изменения
импульса имеет вид m2
Определить линейную скорость движения молота и угловую скорость вращения метателя, если в заключительный момент вращения сила метателя, приложенная к молоту массой 8 кг достигнет 2400 Н. Радиус вращения принять равным 1,5 м.
Ротор центрифуги массой 10 кг представляет собой диск диаметром 0,5 м. По касательной к краю диска действует сила 120 Н. Определить, через сколько времени после начала действия силы ротор будет совершать 200 об/мин.
Определить изменение угловой скорости вращения фигуриста при переходе в стойку «смирно», если в стойке «арабеск» он вращается со скоростью 2 рад/с. Рассчитать энергию, затраченную фигуристом на переход из одной стойки в другую. Считать момент инерции в стойке «арабеск» равным 8 кгм2, а в стойке смирно 1,2 кгм2.
Момент инерции колеса диаметром 0,2 м равен 192,1 кгм2. К колесу приложен постоянный момент силы 96 НМ. Определить угловую скорость и угловое ускорение колеса, а также линейную скорость точек на его ободе через 30с после начала вращения.
Барабан сепаратора вращается, совершая 8250 об/мин. Под действием постоянного тормозящего момента равного 9,8104Мм он остановился после начала торможения через 80с. Определить момент инерции барабана.
Барабан молотилки, вращаясь, совершает 1200 об/мин. При торможении он останавливается, сделав при этом 60 полных оборотов. Определить тормозящий момент М, если момент инерции барабана 50 кгм2.
На сплошной цилиндрический вал радиусом 0,5 м намотан трос, к концу которого прикреплен груз массой 10 кг. Найти момент инерции вала и его массу, если известно, что груз опускается с ускорением 2,04 м/с2.
Найти момент инерции Земли относительно оси вращения, если ее средний радиус равен 6400 км, а средняя плотность 5,5103 кг/м3.
3.14. Оборотный маятник (рис. 3.6.0.) – система двух точечных грузов одинаковой массы, находящихся на спице (стержне), которую можно считать невесомой. Стержень закреплен на оси вращения в точке О. Расстояния от оси до грузов можно изменять.
Рис. 3.6.0. Оборотный маятник
При отключении маятника на некоторый малый угол 0 система начинает совершать малые колебания. Рассчитайте период колебаний.
Ответ:
3.15. Используя ответ к задаче 3.14, запишите формулу периода оборотного маятника, когда верхний груз опущен до оси вращения.
В этом случае оборотный маятник превращается в математический.
3.16. Используя ответ к задаче 3.14, постройте график зависимости периода колебаний оборотного маятника от массы грузов.
3.17. Каков вид графика периода оборотного маятника при больших значениях y ? Эта зависимость T(y) называется ассимптотической. Используйте ответ к задаче 3.14.
3.18. Каков вид графика периода оборотного маятника при y 1. Используйте ответ к задаче 3.14.
3.19. Период колебаний оборотного маятника (см. ответ к задаче 3.14.) имеет минимум. Найдите значение y, в котором этот минимум имеет место.
3.20. Используя ответ к задаче 3.6. вычислите значения периода колебаний оборотного маятника в точке минимума зависимости периода от l2 / l1.
3.21. Используя результаты решения задач 3.9.–3.12., постройте график зависимости периода колебаний оборотного маятника от отношения длин y.
Рис. 3.14. Маятник Обербека.
Маятник Обербека (рис. 3.14) состоит из диска диаметра d и массой mД и двух стержней (спиц), на которые насажены тела («грузы») массой mr. Стержни можно считать невесомыми. Вычислите момент инерции маятника Обербека, используя законы движения.
Ответ:
J
=
.
3.22. Запишите момент инерции маятника Обербека, используя определение момента инерции.
Ответ:
J
= 4mrr2
+
mД
.
3.23. Сравнивая ответы к задачам 3.22. и 3.23. объясните, как зависит момент инерции маятника Обербека от массы подвешенного на шнуре груза?
3.24. Как зависит момент инерции маятника от величины d/2 ?
Постройте график. Ответ к какой задаче 3.22. или 3.23. нужно использовать?
3.25. От чего зависит угловое ускорение маятника Обербека? Что нужно сделать, чтобы угловое ускорение увеличилось?
3.26. Решите основную задачу механики для груза массой mr при его опускании.
3.27. Постройте график зависимости момента инерции маятника Обербека от расстояния грузов до оси вращения.
3.28. Часто в формуле ответа к задаче 3.22. пренебрегают единицей в скобках. Когда это возможно?
3.29. Постройте график зависимости момента инерции маятника Обербека от времени. Ответ какой задачи 3.22. или 3.23. можно использовать?
m= 9 10–31 кг
е = 1,6 10–19 Кл
Рис. 3.24. Модель атома Бора. Электрон – частица.
Используя гипотезу (постулат!) Бора о том, что электрон равномерно вращается по стационарной орбите (на такой орбите электрон не излучает), такой, что mr=nh/2, где n – номер орбиты, найдите радиус этой орбиты.
Ответ:
rn
= n
= nrБ,
где h
= 6,6 10–34
Дж
с – постоянная
Планка.
3.31. Используя ответ задачи 3.31., оцените радиус Бора rБ.
3.32. Используя данные задачи 3.31. вычислите скорость движения по первой стационарной орбите, в соответствии с теорией Бора. Если бы использовались уточненные значения постоянных, то получилось бы v = c / 137, где с = 3 108 м/с – скорость света в вакууме. Насколько полученный результат отличается от этого значения?
3.33. Вычислите энергию связи электрона с ядром в атоме Бора. Используйте результаты, полученные в задачах 3.32. и 3.33.
Ответ:
Wсв
= –
3.34. Оцените постоянную Ритберга R (см. ответ к задаче 3.34.)
3.35. Вычислите энергию перехода ∆ W с орбиты с номером p, на орбиту с номером n, ( n < p) как разность энергий соответствующих орбит.
3.36. Постройте график зависимости энергии стационарной орбиты от ее номера по формуле ответа задачи 3.34. Какой это график: непрерывный (линия) или дискретный (точки)?
3.37. Дискретные значения Wn – энергий стационарных орбит представлены на рис. 3.29. Что означают горизонтальные линии на рис. 3.29.? Что означают вертикальные линии со стрелками на рис. 3.29?
Рис. 3.29. Уровни энергии (энергии связи) стационарных
орбит атома водорода.
3.38. Энергия ионизации – это энергия перехода из основного состояния к положительным энергиям. Оцените энергию ионизации. Выразите энергию ионизации в эВ. В любом справочнике химика приведена энергия ионизации атома водорода. Сравните полученный результат с этим табличным значением.
3.39. Вычислите значения ∆W = W3 – W2. Используйте ответ задачи 3.34.
Где эта величина на рис. 3.29.?
3.40. Что произойдет с электроном, находящимся в основном состоянии (см. рис. 3.29.), если ему передать энергию (–W1) ?
3.41. В соответствии с формулой Планка ∆W = hν, где ν – частота электромагнитного излучения, запишите формулу для частот излучения атома Бора. Это известная формула Ридберга. (Используйте решение задачи 3.34.)
Ответ:
ν
= R
3.42. Переходу на какую орбиту (уровень) соответствует формула Бальмера для длин волн излучения атома водорода в видимой области спектра?
λ
=
; p
= 3,4, …