§ 2. Энергия

Из основного закона механики – второго закона Ньютона – следует, что при отсутствии сил трения или других сил, зависящих от скорости, выполняется закон сохранения полной механической энергии W_пол в замкнутой, изолированной механической системе.

W_пол=W_к + W_п = W_ко + W _по = const (t) (2.1.)

Сумма кинетической W_к= m²/2; W_к= и потенциальной (разной для разных сил) энергии остается с течением времени неизменной.

Потенциальные энергии различных сил: силы упругости W_п= кх²/2; кулоновской силы W_п = ±кθ/r.

Важным является и понятие работы:

А=F S cos ( ) (2.2.)

Если потенциальная энергия силы существует, то проекция силы на любую ось Х может быть вычислена как производная

F = – . (2.3.)

Для атомов и молекул на основе опытных данных строят формулы, отражающие наиболее существенные черты их взаимодействия. Наиболее употребительной является формула потенциала (потенциальной энергии взаимодействия) Леннарда–Джонса

_Wат = ε (2.4.)

Эта формула отражает такие факты: молекулы (атомы) на близких расстояниях сильно отталкиваются, на далеких – слабо притягиваются, а на расстоянии порядка r_о колеблются около этого равновесного расстояния. Величина ε – энергия такого колебательного движения.

Таблица

Силы и потенциалы

Система	Сила	Потенциаль–ная энергия	Потенциал	Поле
Груз на пружине (гармонический осциллятор)	Fупр= –kx	Wупр=
Две массы	Fгр = γ	Wгр=–γ	φгр= –γ	Гравита–ционное
Два разноименных заряда	Fэл=–к	Wэл= –к	φэл= –к	Электрич.
Два одноименных заряда	Fэл= к	Wэл= к	φэл= к	Электрич.

2.1. Используя формулы равноускоренного движения = _о + at^; S = _оt + at²/2, докажите, что после умножения на перемещение S левая сторона второго закона Ньютона запишется как изменение кинетической энергии.

2.2. Нарисуйте график зависимости потенциальной энергии двух точечных зарядов от расстояния.

2.3. Нарисуйте график зависимости потенциальной энергии сил тяготения вблизи Земли. Нарисуйте график той же зависимости на большом удалении от Земли. Как связаны эти графики?

2.4. Вычислите значения силы упругости, силы всемирного тяготения и кулоновской силы, используя приведенные в таблице 1 значения для соответствующих потенциальных энергий. Проекция на какие оси представляет собой полученные силы.

2.5. Какой вид имеет потенциальная энергия взаимодействия двух стальных шариков радиуса r_о каждый. Очевидно, шарики не взаимодействуют, если расстояние между их центрами r больше, чем 2r_о. С другой стороны, шарики можно считать совершенно твердыми, поэтому сблизить их на расстояние r< 2r_o – совершенно невозможно. Нарисуйте теперь вид W_п.

6. Формулу (2.4.) часто записывают в виде

W_ат =

Используя условие минимума энергии на расстоянии r_о, выразите А и В через φ_о и ε.

2.7. Используя потенциал Леннарда–Джонса, найдите расстояние δ_о, на котором молекулы не взаимодействуют. Выразите δ_о через А и В (см. задачу 2.6.). Покажите, что δ_о = (А/В)r_о^1/6.

2.8. Опыт Резерфорда – это опыты (Рис. 3.23.) по бомбардировке тонкой пленки, например, золота, (в один атом) так называемыми альфа–частицами.

q_α = 2 ∙ 1,6 ∙ 10^–19 Кл

m_α= 4 ∙ 1840 ∙ 9,1 ∙ 10^–31 кг

_α = 0,31 ∙ 10⁸ м/с

e = 1,6 ∙ 10^-19 кг

Рис. 3.23. Схема опыта Резерфорда.

Оценить (не вычислить, а именно оценить) расстояние R, на котором возникнут силы, достаточные, чтобы отразить α–частицу. Это расстояние и есть размер ядра атома золота.

Указание

Применить к этому опыту всегда выполняющийся закон сохранения энергии. Первое состояние: – частица «далеко» от отталкивающего заряда. Второе состояние: – точка поворота.