§ 14. Уравнения масс– и теплопереноса.

В самом общем виде уравнения гидродинамики представляют собой общие законы: закон сохранения импульса, закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) и закон сохранения массы. Поэтому гидродинамику часто называют гидромеханикой и даже механикой жидкости и газа.

Уравнение непрерывности станет

(14.1.)

Именно это уравнение используется в аэродинамике, т.е. в науке о течении газа. Если плотность не меняется ни с течением времени, ни в разных местах жидкости p=const (t; x; y; z) , то получится уравнение непрерывности для жидкости

, (14.2.)

где операция div (дивергенция) записана (раскрыта) в декартовых координатах. В цилиндрических координатах то же уравнение запишется как

div v = (14.3.)

При стационарном движении газа или невязкой жидкости по трубе это уравнение дает уже записанное выше условие vS=conct, где S – площадь сечения трубы. Уравнение неразрывности следует из закона сохранения массы. Это уравнение часто называют уравнением переноса массы или уравнением массопереноса.

Гидравлика – наука, на основе которой проводятся расчеты аппаратов химической и биотехнологии.

Конечно те же результаты можно получить из уравнения Навье– Стокса для невязкой жидкости. Из уравнения гидродинамики вытекает закон Бернули

(14.4.)

Уравнение переноса тепла без учета вязкости запишется как

(14.5.)

где x=/(pc_p) – называется коэффициент температуропроводности.

14.1. Где быстрее движется жидкость – в узком или в широком месте трубы? Ответ обоснуйте. (Вязкостью пренебречь).

14.2. Постройте график зависимости скорости невязкой жидкости от площади сечения трубы, в которой происходит движение. Какая кривая получилась?

14.3. Постройте графики скорости невязкой жидкости =(1/S); =(1/R); =(1/R²) при движении по трубе сечением S=R².

14.4. Нарисуйте направление вектора нормали п (внешней) и вектора скорости  относительно малой площадки dS, при втекании жидкости в трубу.

Докажите, что при втекании dS <0. Что будет при вытекании?

14.5. Докажите, что скорость течения вязкой жидкости по трубе удовлетворяет– уравнению неразрывности, несжимаемой жидкости.

14.6. Запишите уравнение неразрывности для стационарного движения несжимаемой жидкости. Сделайте запись в декартовых и в цилиндрических координатах.

14.7. Докажите, что скорость  с компонентами v_x=v₀cos(kx)sin(ky); v_y=–v₀sin(kx)cos(ky), где v₀ и k постоянные, удовлетворяет уравнению неразрывности div v=0.

14.8. Прочтите закон Бернули. Когда верен этот закон?

а) В разные моменты времени в одной и той же области жидкости;

б) В разных областях жидкости в один и тот же момент;

в) В разные моменты и в разных областях жидкости.

Выберите правильный ответ.

14.9. Докажите, что слагаемые, входящие в закон Бернули измеряются в Дж/м³. Какая величина измеряется в таких единицах?

14.10. Почему ветер срывает крышу, вместо того, чтобы прижимать её? Используйте Рис. 14.10.

Рис. 14.10.

14.11. Как изменится закон Бернули, если на жидкость действует сила тяжести (плотность энергии p g h)?

14.12. Какое давление создает компрессор пылесоса, если пыль влетает в него со скоростью 1 м/с. Плотность пыли 0,8.10^–3 кг/м. Пыль можно считать невязкой жидкостью.

14.13. Горизонтально расположенный шприц автомат вводит в мышцу животного 1 см³ лекарственного раствора за 5 секунд. Внутренний диаметр шприца 10 мм, внутренний диаметр иглы 0,5 мм. Плотность раствора считать равной плотности воды. Определить:

а) скорость истечения раствора из иглы, считая движение жидкости стационарным; б) давление, под которым движется жидкость в шприце.

14.14. Внутренний диаметр иглы шприца равен 0,3 мм, а диаметр поршня 13мм. Сколько времени будет вытекать раствор из горизонтально расположенного шприца во время инъекции, если действовать на поршень с силой 4Н и если ход поршня равен 5 см. Плотность раствора считать равным плотности воды и движение жидкости считать стационарным.

14.15. На молокозаводе молоко подается к местам расфасовки по горизонтальной трубе переменного сечения. В широкой части трубы оно движется под давлением 2 атм со скоростью 0,5 м/с. Определить величину избыточного давления в узкой части трубы, если скорость молока в ней 1,5 м/с.

14.16. Определение скорости оседания эритроцитов (РОЭ) имеет большое диагностическое значение. Так, например, при воспалительных процессах в организме человека и животных увеличение РОЭ определяется только образованием из эритроцитов комочков большего диаметра. Считая их сферическими, определить диаметр комочков, если их скорость оседания в крови равна 50 мм/час. (плотность эритроцитов – 1090 кг/м³; плотность плазмы крови – 1030 кг/м³; вязкость плазмы – 2,610^–3 Па).

14.17. Определить плотность эритроцитов, если скорость их оседания в крови (РОЭ) равна 10 мм/час. Считать, что эритроциты имеют форму шарика диаметром 5 мкм (в действительности они имеют форму двояковогнутой линзы).

14.18. При переливании крови капельным методом необходимо было поддерживать частоту 40 капель в минуту. Какого диаметра должен быть кончик трубки капельницы, чтобы 250 мл крови перелить за 1,5 часа.

14.19. В вертикально расположенный капилляр диаметром 2 мм втянули для анализа 0,5 мл крови. Определить, на сколько давление, созданное в капилляре, меньше атмосферного, равного 760 мм Hg.

14.20. В горизонтально расположенный капилляр набирается 0,25 мл крови так, что образуется столбик длиной 10 см. Вытечет ли кровь из капилляра, если его поставить вертикально.

14.21. Объемная скорость кровотока в сонной артерии диаметром 3 мм составляет 180 мл/мин. Определить линейную скорость движения крови.

14.22. Определить общую площадь сечения капилляров в теле человека, считая, что скорость крови в капиллярах 0,5 мм/см, а в аорте радиусом 1,6 см – 20 см/сек. Эластичностью сосудов пренебречь.

14.23. В покое величина кровотока на 100 г мышц руки равна в среднем 2,5 мл в минуту. Определить количество капилляров в тканях мышц, считая, что длина каждого из них составляет 0,3 мм, а диаметр 10 мкм. Разность давлений на концах капилляров принять равной 25 мм Hg.

14.24. Через трансфузионную иглу, надетую на трубку длиной 20 см, выливается кровь из ампулы диаметром 75 мм. Определить, через сколько времени из ампулы выльется 250 мл крови, если диаметр иглы 1 мм, а длина 4 см. Ампула содержит 500 мл крови. Трубка и ампула расположены вертикально.

14.25. Шприц расположен горизонтально. На его поршень площадью S₂ действуют с силой F, перемещая его с постоянной скоростью U. Определить скорость истечения лекарства из иглы площадью сечения VS, если на преодоление сил трения расходуется 2/3 энергии, необходимой для перемещения поршня шприца. Плотность лекарства .

14.26. При атеросклерозе критическое число Рейнольдса в некоторых сосудах становится равным 1160. Определить скорость, при которой возможен переход от ламинарного течения в турбулентное в сосуде диаметром 2,5 мм.

14.27. Определить линейную скорость кровотока в аорте радиусом 1,5 см, если при длительности системы 0,25 сек, через аорту протекает 60 мл крови. Во сколько раз эта скорость мешьше критической. Число Рейнольдса считать равным 1160.

Сборник задач по курсу «Физика». Для студентов химиков – технологов и биотехнологов.

Доктор физ. – мат. наук, профессор Евгений Давидович Эйдельман

Кандидат физ. – мат. наук, доцент Александр Львович Липин