§ 12. Явления переноса.

Закон диффузии. (Закон Фика). Диффузионный поток:

J = ; (12.1.)

Закон теплопроводности (Закон Фурье). Тепловой поток:

q = ; X = C_vρD (12.2.)

Закон вязкости (Закон Ньютона). Поток импульса:

Р = ; η=ρD; (12.3.)

Молекулярная физика. Краткие итоги.

Таблица. Идеальный газ.

2.1. Используя уравнения состояния идеального газа и основное уравнение молекулярно–кинетической теории, перепишите формулу для длины свободного пробега в возможно большем числе различных соотношений. Минимум – десять. Максимум – ?

12.2. Оцените длину пробега молекул воздуха в комнате.

12.3. Запишите формулу для τ – времени движения между столкновениями. Оцените её.

12.4. Запишите формулу для числа столкновений за 1 сек.

12.5. Сформулируйте закон Фика для концентрации.

12.6. Как зависит коэффициент диффузии газа от температуры? Сформулируйте ответ, напишите зависимость и постройте график отдельно для изохорного и изобарного процесса.

12.7. Нарисуйте график зависимости коэффициента диффузии жидкости от температуры.

12.8. Используя зависимость коэффициента диффузии от характеристик хаотического движения (длины свободного пробега и среднеквадратичной скорости), определите зависимость от времени среднеквадратичного отклонения («ухода») молекулы при хаотическом движении («случайном блуждании»).

Ответ:

х² = v² λt

12.9. Оцените расстояние ( ), на которое за 10 минут распространится запах “подгоревшей картошки”, если при этом диффундируют молекулы с молярной массой 357 г/моль. (Пальмитиновая кислота). Используйте ответ задачи 12.8.

12.10. Как зависит величина среднеквадратичного отклонения от температуры? Нарисуйте график.

12.11. Запишите формулу связи коэффициента теплопроводности и коэффициента диффузии.

12.12. Выразите коэффициент температуропроводности через параметры газа. Постройте графики зависимости коэффициента температуропроводности от температуры для изобарного и изохорного нагревания.

12.13. Выразите коэффициент вязкости газа через коэффициент диффузии. Выразите его через коэффициент теплопроводности.

12.14. Нарисуйте графики зависимости коэффициента вязкости газа от температуры в изобарных и изохорных условиях.

12.15. Запишите формулы зависимостей и нарисуйте графики, выражающие коэффициент вязкости газа через плотность в различных изопроцессах.

§ 13. Уравнение Навье–Стокса. Движение жидкости в трубах.

Уравнение гидродинамики (Уравнение Навье–Стокса) в простейшем случае имеет вид:

(13.1.)

Обозначено: ρ – плотность жидкости; v – скорость жидкости в точке с координатой х в момент времени t; р – давление в той же точке жидкости; ν – коэффициент кинематической вязкости; f – плотность внешних сил, действующих в жидкости.

Качественно движение жидкости характеризуется числом Рейнольдса:

R_e = (13.2.)

где d – характерный размер движения (например, диаметр трубы), а v – характерная (например, средняя) скорость течения. При малых R_e – движение ламинарное; жидкость движется как целое. При больших R_e – движение турбулентное; внутри жидкости имеются вихревые движения.

Наглядно движение жидкости можно представить как линии тока – линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости жидкости в этой точке.

Важнейшим случаем течения является течение вязкой жидкости по трубе кругового сечения (цилиндрическая труба). Если жидкость движется в трубе как целое (ламинарно), то скорость течения v задается формулой Пуазейля (иногда называют «закон Пуазейля»):

(13.3.)

Обозначено: Р_нач, Р_кон – соответственно, давление в начале и в конце трубы; труба имеет длину ℓ и радиус R; течет жидкость плотности ρ, имеющая коэффициент кинематической вязкости v; радиальная координата r, отсчитывается от оси трубы.

Течение в целом характеризуется расходом жидкости, т.е. объемом (или массой) жидкости, протекающей через поперечное сечение течения в единицу времени. Для течения на трубе, расход Q равен

Q = (13.4.)

где величина А=Р_нач – Р_кон, называется «напор». Эту формулу также часто называют формулой Пуазейля.

Рис. Движение жидкости по трубе. Цилиндрические координаты.

13.1. Перечислите величины, входящие в уравнение гидродинамики. Запишите их обозначения и единицы измерения.

13.2. Какие величины в уравнении гидродинамики являются:

а) характеристиками жидкости (среды); б) характеристиками движения; в) характеристиками внешних сил, действующих на жидкость?

13.3. Для каждого слагаемого уравнения гидродинамики в простейшей форме (13.1.) :

а) р ; б) рv ; в) ; г) рv ;

докажите, что его размерность Н/м³. Как можно назвать величину, имеющую такую размерность? Какова размерность величины f ?

13.4. Запишите x–проекцию уравнения Навье–Стокса. Запишите у–проекцию.

13.5. Запишите слагаемое ( )v, раскрыв скалярное произведение входящих в него векторов v и .

13.6. Запишите x–проекцию уравнения Навье–Стокса, подставив операторы «набла» и «лапласиан» в декартовых координатах.

13.7. Запишите слагаемое ρ ² υ_z уравнения Навье–Стокса, подставив в него оператор Лапласа в цилиндрических координатах, если υ_z = υ_z (r). Для этого:

а) Нарисуйте систему декартовых координат x, y, z, и в ней покажите цилиндрические координаты , , z, (оси z в обеих системах координат совпадают).

б) Выразите декартовы координаты через цилиндрические. Выразите цилиндрические координаты через декартовы.

( Ответ:  = ;  = arctg (y / x); z = z).

в) Вычислите , затем таким же способом найдите

г) д) е) .

Ответ:

 v²_z = 

13.8. Какие величины в уравнении гидродинамики являются:

а) векторными; б) скалярными?

3.9. От чего зависят величины: , , p, , при движении несжимаемой вязкой жидкости? При стационарном движении такой жидкости?

3.10. Прочитайте уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье–Стокса).

3.11. Простейшая формула основного уравнения гидродинамики получится, если взять х –проекцию общего уравнения и когда

(_x =  (х); 0; 0), p = p(x), ( f_x = f; 0; 0 ). Запишите его.

13.12. Скорость течения по трубе осесимметрична, т.е. _z =  (r). Используя связь r c декартовыми координатами r = , для осесимметричного течения:

а) выразите   /  x через   /  r. (Ответ:     x = x / r  /  r);

б) выразите  ²   x² через производные по r ;

в) выразите лапласиан, записанный в декартовой системе координат, через r и производные по r .

Ответ:

13.13. Что называется линией тока?

13.14. Какое движение называется ламинарным? Нарисуйте линии тока для ламинарного движения в трубе. Одинакова ли густота линий тока у стенки и в центре трубы?

13.15. Какое движение называется турбулентным? Нарисуйте линии тока для турбулентного движения.

13.16. Получите из общего уравнения Навье–Стокса уравнение для движения жидкости в трубе. Ось z – вдоль трубы. Движение считать стационарным. Давление в каждой точке заданного сечения трубы – одинаковым. Течение вдоль трубы – ламинарное. Линии тока параллельны оси трубы и вдоль нее во всех сечениях одинаковы. Течение считать симметричным, относительно оси трубы.

(Ответ: .).

13.17. а) Считая, что падение давления (т.е. dp/dz) вдоль трубы постоянно, вычислите p(z), если р(0)=р_кон , p(l)=p_нач.

( Ответ: p(z) = p_нач – (р_нач – р_кон) z/l ).

б) постройте график зависимости давления от расстояния вдоль трубы.

13.18. Проверьте, что скорость течения вдоль трубы удовлетворяет граничным условиям v( R )=0 ; v(0)= const. Определите значение const.

13.19. Вычислите максимальное значение скорости течения по трубе радиуса R.

13.20. Постройте график скорости течения в трубе (r), если r изменяется от 0 до R.

13.21. Формула Пуазейля.

а) Записывая уравнение Навье–Стокса для движения вдоль трубы как , найдите v(r) .

( Ответ: v(r)=kr²/4 + C ln r + D, где С и D – постоянные )

б) используя граничные условия v (0) = const: v(R) = 0.

Докажите, что скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону;

в) постройте график (r) и подсчитайте площадь под графиком;

г) какова средняя скорость {} течения жидкости в трубе?

13.22. Что такое расход жидкости в трубе? В каких единицах он измеряется?

13.23. Постройте, используя формулу Пуазейля для расхода жидкости, графики Q(R); Q(R⁴); Q(A); Q(P_нач); Q(l). Остальные параметры считать постоянными.

13.24. В одних и тех же условиях для меда и для воды получены графики расхода жидкости. Какой график соответствует воде? (см. Рис. 13.24.). Ответ обоснуйте.

Рис. 13.24.

13.25. Из соображений размерности следует, что расход жидкости в трубе должен вычисляться по формуле Q=B{}S, где B=const, {}– характерная (средняя) скорость течения, а S – его площадь. Используя формулу Пуазейля, определите скорость {}.

13.26. Из трубы дюймового сечения вытекает 1 л воды в сек. Сколько вытечет воды, если при том же напоре поставить трубу трехдюймового сечения?

13.27. Известно, что ламинарное течение превращается в турбулентное при значении числа Рейнольдса Re  10. Какова средняя скорость течения жидкости в момент перехода, если вода вытекает из крана диаметром 1 см. (Вязкость воды 10^–3 Па³с).

13.28. Каково должно быть давление, чтобы из горизонтально проложенной трубы длиной 10 м и сечением 1 дюйм ( 2,4 см) вытекал 1 л воды в секунду. (Вязкость воды принять 10^–3 Па³с).

13.29. Используя, что в цилиндрических координатах элемент площади dS= r dr d, проведите интегрирование скорости течения вязкой жидкости по сечению трубы и получите формулу Пуазейля для расхода жидкости.