§ 11. Статистика молекул.

Методами теории вероятностей исследуются количественные характеристики (распределения) молекул.

Все распределения молекул являются следствиями принципа Больцмана.

Принцип Больцмана описывает распределение молекул (или частиц), обладающих определенной энергией. Если W энергия молекул газа, то их концентрация в этой точке равна

п = п_оехр (11.1.)

Там, где концентрация частиц равна п_о, энергия принята равной W…… = 0.

В формуле Т – абсолютная температура газа, k = 1,38.10^–23 Дж/К – постоянная Больцмана. Найдем значение энергии, для которой число частиц в единице объема, то есть концентрация молекул п, уменьшается в е ≈ 2,72 раз по сравнению с п_о

(11.2.)

Логарифмируя последнее выражение, получим

W = kT (11.2.)

Таким образом, если энергия равна kT, то концентрация молекул в этом месте в 2,72 раза меньше, чем в том месте, где энергия равна нулю.

Частными случаями принципа Больцмана являются распределение Максвелла и барометрическая формула.

Распределение Максвелла. Рис. 1. Доля, вероятность, что молекулы имеют скорость, лежащую в интервале от V до V+dV, равна

, (11.3.)

где безразмерная относительная скорость U связана с наиболее вероятной скоростью V_В:

U = ; V_B = (11.4.)

Рис. 1. Распределение Максвелла. Полная вероятность

(площадь под графиком S) равна единице.

Барометрическая формула. Рис.2. Распределение концентрации молекул и давления в атмосфере:

п = п_ое^–h/hА ; р = р_ое^–h/hА ; (11.5.)

где характерная длина изменения

h_А = (11.6.)

Рис. 2. Барометрическая формула.

Термоэлектрический эффект и термопара. Термопара рекомендована в фармокопее как прибор для измерения температуры.

Измерение температуры при этом заменяется измерением контактной ЭДС

ε = ε₀ + α (T – T₀), (11.7.)

где  – термоэлектрическая постоянная, характеристика металлов, находящихся в контакте.

11.1. У больного – жар. Температура 42⁰С. На сколько процентов увеличилась средняя квадратичная скорость молекул воды в организме больного?

11.2. Опыт Штерна. Опыты по измерению скоростей молекул проделал О. Штерн в 1920 году. Схема опыта представлена на Рис. 11.2.

Рис. 11.2. Схема опыта Штерна. 1 – цилиндр (радиус R),

2 – цилиндрик (радиус r), 3 – нить, 4 – щель.

(а) – неподвижное состояние (б) – прибор вращается с

угловой скоростью .

По оси латунного цилиндра натянута тонкая платиновая нить, покрытая слоем серебра. Пропусканием электрического тока нить раскаляется до 1200⁰ С и серебро испаряется во все стороны. Вокруг нити – цилиндрик малого радиуса r с узкой продольной щелью. Внутри этого цилиндрика образуется газ, состоящий из атомов серебра. Цилиндрик жестко скреплен с охватывающим его большим цилиндром радиуса R. Вся система находится под колпаком, из–под которого воздух выкачен.

Если цилиндры неподвижны, то поток атомов серебра, пройдя через щель, осядет на внешнем цилиндре в виде узкой полосы А. Если оба цилиндра вращать с угловой скоростью , то атомы серебра попадут уже не в А, а в А. Ведь расстояние (R – r ) от щели до стенки большого цилиндра атомы, летящие со скоростью , проходят за время t= (R–r)/. За это время цилиндр повернется на угол  =  t.

Измеряя этот угол  , зная угловую скорость  и радиусы цилиндров R и r , вычисляют скорость атомов. Измеренные таким образом значения скорости атомов оказались близкими к результатам вычислений среднеквадратичной скорости. Опыты Штерна подтвердили теорию Больцмана. Получилось   350 м/с.

Вычислите угол , если R  5см; r  1см;   1000 c^–1.

11.3. Скорость молекул газа разная. Покажите на Рис. 11.2. куда попадают быстрые молекулы?

11.4. Какие средние значения имеют проекции скорости молекул в обычном, неподвижном газе?

11.5. Какие средние значения ( по модулю ) имеют проекции скорости молекулы?

11.6. В теории вероятностей принимается (постулируется!), что вероятности исходов независимых испытаний перемножаются, а вероятности различных исходов одного и того же испытания складываются.

Пусть р – вероятность появления благоприятного исхода в одном испытании, а q – вероятность появления в том же испытании неблагоприятного исхода. Полная вероятность тогда p + q. Докажите, что для двух испытаний выполняется правило умножения полных вероятностей. Попытайтесь обобщить это доказательство на k испытаний.

11.7. Сумма вероятностей всех возможных исходов в некотором испытании, очевидно, 1 (100%). Этот постулат теории вероятностей называется «правило нормировки».

Докажите, что в условиях задачи (11.6.) выполняется правило нормировки.

11.8. Пусть проведено k испытаний. Из них m дали благоприятный исход. Число возможностей, которыми эти благоприятные исходы могут появиться при проведении испытаний, это число сочетаний по m из k элементов, C_k ^m. Известно, что

C_k^m =

Подсчитайте C_k^m при а) k = 2; m = 1, б) k = 5; m = 3, в) k = 7; m = 0. Помните 0! = 1.

11.9. График зависимости C_k^m от m (см. задачу 11.8.) представляет собой набор отдельных точек. Постройте такой график при k = 5 и k = 6. Соедините полученные точки сплошной линией.

При каких условиях график зависимости C_k^m от m будет трудно отличить от графика, проведенного непрерывной линией?

11.10. Числа C_k^m приведены в таблице, которая называется «треугольник Паскаля»

Число Число благоприятных исходов m испытаний k 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1

Проверьте коэффициенты в треугольнике Паскаля непосредственным вычислением по формуле из задачи 11.8. Помните 0! = 1. Как вычислить значения в следующей строке, используя только предыдущую?

11.11.Вероятность получения m благоприятных исходов при k независимых испытаниях равна C_k^mp^mq^k–m где p и q вероятности появления благоприятного и неблагоприятного исходов в одном испытании. Пусть p = q = 0,5

Используя треугольник Паскаля (см. задачу 11.10.) Постройте график зависимости вероятностей числа m для пяти испытаний, для шести испытаний, для семи. Чем эти графики отличаются от графиков задачи 11.9? При каких условиях этот график будет трудно отличить от графика проведенного непрерывной линией? График проведенный непрерывной линией – это по форме график распределения молекул по проекции скорости.

Ответ:

11.12. Как известно молекулы воды – диполи. Записав энергию взаимодействия иона (точечного заряда) и молекулы воды (диполя) (см. §5), используя принцип Больцмана, получите формулу зависимости концентрации диполей вокруг иона в водяном паре от расстояния до иона.

11.13. Ток I в газоразрядной лампе пропорционален концентрации в ней ионов (заряд иона e ). Запишите в соответствии с принципом Больцмана формулу зависимости тока от напряжения ( v ) (вольтамперную характеристику) в лампе.

Ответ : I = I₀ e^– ,

11.14. Прологарифмировав обе стороны формулы вольтамперной характеристики газоразрядной лампы (см. задачу 11.13). Постройте график зависимости ln I от напряжения. Как по этому графику определить температуру в лампе?

11.15. Пусть в газ неполярных молекул попадает один ион (точечный заряд). В поле этого иона молекулы поляризуются (см. §5). Используя распределение Больцмана запишите формулу зависимости концентрации поляризованных молекул от расстояния до иона.

11.16. Решите задачу 11.15., считая, что в газ неполярных молекул попадает одна полярная молекула (диполь).

11.17. Вычислите наиболее вероятную скорость молекул воздуха в том помещении, где Вы сейчас находитесь.

11.18. Вычислите вероятность, что молекула движется со скоростями, отличающимися от наиболее вероятной на 1%.

11.19. Вычислите максимальное значение функции распределения молекул по скоростям. Вычислите значение функции распределения в той точке, где скорость равна среднеквадратичной скорости. Сравните полученные результаты.

11.20. Нарисуйте графики зависимости давления в изотермической атмосфере для различных газов, составляющих атмосферу.

11.21. Найдите формулу для высоты половинной концентрации h_1/2, т.е. высоты на которой концентрация уменьшается в 2 раза по сравнению с первоначальной. Какова связь h_A и h_1/2.

11.22. Найдите формулу для расстояния половинного оседания R_1/2 в центрифуге, т.е. найдите расстояние R от оси вращения до места, где концентрация уменьшается в 2 раза.

Указание. В центрифуге молекулы движутся с центростремительным ускорением.

11.23. Постройте график зависимости ℓп n от R² (n – концентрация) в центрифуге (см. указание к задаче 11.21.).

11.24. Во сколько раз изменяется давление при подъеме на гору высотой, равной высоте атмосферы h_A? Есть ли такие горы на Земле? Изменениями температуры при подъеме пренебречь.

11.25. Нарисуйте качественно в одних осях график зависимости от расстояния: а). энергии взаимодействия молекул идеального газа; б). электрона и иона. В соответствии с принципом Больцмана запишите соответствующие концентрации.

11.26. При изучении термоэлектрического эффекта стенки потенциальных ям изображают как прямые, перпендикулярные к оси (см. Рис. 11.26. Почему это допустимо? (Напомним (см. § 4), графиком зависимости энергии взаимодействия электрона и иона была бы гипербола!).

Рис. 11.26. Энергия электронов в контакте двух металлов

(металла 1 и металла 2)

Запишите концентрации вылетевших электронов п⁽¹⁾_out и п⁽²⁾_out в области контакта, считая, что концентрация электронов внутри каждого металла п⁽¹⁾_in и п⁽²⁾_in известны.

Ответ:

п⁽¹⁾_out = п⁽¹⁾_in e^– ; п⁽²⁾_out = п⁽²⁾_in e^– ;

11.27. Один электрон вылетел в направлении нормали к поверхности металла; другой – под углом 30⁰. Сравните работы выхода этих электронов. Зависит ли работа выхода электрона из металла от того, под каким углом к поверхности металла он вышел? (см. § 4) Изменятся ли зависимости концентраций вылетевших электронов (см. задачу 11.26.)?

11.28. Что показывает вольтметр (см. Рис. 11.28.), если контакты С и D

а) находятся при одинаковой температуре; б) контакт С подогревают;

с) контакт D подогревают?

Рис. 11.28. Соединение двух металлов с различной

концентрацией свободных электронов (термопара)

11.29. Запишите формулу и постройте график зависимости термоэлектрической постоянной α от ℓп п⁽²⁾_in. Величину ℓп п⁽¹⁾_in считайте неизменной и укажите её на графике (Используйте ответ задачи 11.26.).

11.30. Придумайте, какими способами можно увеличить чувствительность термопары? (см. Рис. 11.28.).

11.31. Сравните термопару и ртутный термометр. Каковы их преимущества и недостатки?