3. Основная формула дифракционной решетки

Какую же картину создадут лучи, идущие через дифракционную решетку под углом Θ? Будут они ослаблять или усиливать друг друга? Чтобы ответить на этот вопрос, разобьем эти лучи на пары 1 и 1´, 2 и 2´, 3 и 3´ и т.д. (рис. 19). Каждые два луча (например, лучи 2 и 2´) исходят из одинаковых точек соседних щелей и имеют разность хода Δ = dsinΘ.

Рис.19. Интерференция лучей в дифракционной решетке. Показана разность хода между соответственными лучами 2 и 2´

Если на этой разности хода укладывается четное число полуволн, то волны усиливают друг друга, если нечетное – ослабляют. Условие усиления волн имеет вид:

Итак, монохроматический свет, прошедший через дифракционную решетку, создает на экране светлые полосы под углами

(5)

Полученное соотношение является основной формулой дифракционной решетки.

Во всех остальных точках экрана, т.е. под другими углами, будет полное или частичное ослабление света. Чередование светлых и темных полос на экране за дифракционной решеткой, как и формула (5), совершенно аналогично картине интерференции от двух когерентных источников, т.е. опыту Юнга. Различие состоит лишь в том, что свет, прошедший через N щелей, т.е. свет от N/2 пар источников при своем усилении, т.е. при выполнении условия (5), имеет результирующую амплитуду в N/2 раз больше, чем при интерференции от двух источников. Соответственно, I – интенсивность светлых полос на экране за дифракционной решеткой будет в (N/2)² раз больше, чем от двух щелей. Поскольку I ~ N², то, естественно, стремятся создать решетки с возможно большим числом щелей N. Чем больше число щелей, т.е. штрихов на решетке, тем более резкими и отчетливыми будут интерференционные полосы на экране (рис. 20).

Рис. 20. Дифракционная картина от решеток с разным числом щелей N.

Число щелей N = 2 (а), N = 4 (б), N = 8 (в)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Интенсивность света, падающего на дифракционную решетку, уменьшилась вдвое. Как изменится интенсивность светлых полос на экране? Изменится ли их положение?

2. Половину дифракционной решетки закрыли непрозрачной пленкой. В результате число щелей уменьшилось в два раза, и падающий световой поток тоже уменьшился вдвое. Как изменится интенсивность светлых полос?

4. Число светлых полос

Рассмотрим, сколько светлых полос получается на экране от дифракционной решетки. Для примера рассмотрим случай, когда период решетки всего в четыре раза больше длины волны d = 4λ. Тогда, по условию (5) sinΘ_k = kλ/d = k/4. При k = 0 sinΘ_k = 0 и Θ₀ = 0. Следовательно, одна светлая полоса будет прямо за решеткой (по нормали к ней). При k = 1 sinΘ₁ = 1/4 и Θ₁ = ±14°. Этому отвечают две полосы справа и слева от нормали. При k = 2 sinΘ₂ = 1/2 и Θ₂ = ±30° - это еще две светлые полосы. При k = 3 sinΘ₃ = 3/4 и Θ₃ = ±48° - еще две полосы, а при k = 4 sinΘ₄ = 1 и Θ₄ = ±90° - и этих полос мы уже не увидим, так как они будут бесконечно далеко на экране (остальным k отвечает условие sinΘ_k > 1, что не имеет смысла).

Итак, при d = 4λ на экране 1+2·3=7 светлых полос. Вообще, если d = nλ, то число полос равно 1+2(п-1). Чем меньше полос, тем больше расстояние между ними, поэтому стремятся сделать дифракционные решетки с малым периодом d, близким к длине волны λ.

Максимальное значение k_max (т.е. фактически, число светлых полос по одну сторону от центра) легко определить из условия

Поскольку максимальное значение (sinΘ)_max – равно единице.

Как уже говорилось, дифракционная решетка – это маленькая пластиночка ~ 1 см². Расстояние же от дифракционной решетки до экрана обычно 1 м. Поэтому даже без линзы, параллельные лучи, исходящие от разных щелей решетки, попадут практически в одно место экрана и либо усилят, либо ослабят друг друга. Фактически, свет, прошедший через дифракционную решетку, выходит только под теми углами, которые отвечают условию . Например, при d = 4λ картину лучей, выходящих из дифракционной решетки, можно схематически изобразить на рис. 21.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что произойдет с дифракционной картиной на экране, если щели решетки закрыть через одну и увеличить тем самым период решетки в два раза?

2. Период решетки равен длине волны d = λ. Сколько светлых полос и под какими углами окажется на экране?

3. Период решетки вдвое больше длины волны d = 2λ. Сколько светлых полос и под какими углами окажется на экране?

4. Первая светлая полоса на экране наблюдается под углом Θ₁ = 30°. Сколько всего светлых полос можно увидеть на экране?

Рис. 21. Свет, падающий на дифракционную решетку с периодом d = 4λ,

выходит из нее в виде семи лучей

Рис. 22. Белый свет, падающий на дифракционную решетку, разлагается в спектр. Центральный луч (при k = 0) остается белым.