Система разностных уравнений (3.96) дополнялась начальными и граничными условиями (3.91 и 3.92 – 3.95) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
Текст программы алгоритма решения двухмерного параболического дифференциального уравнения (3.2.36), написанной на блочно-структурном языке системы MATH CAD и числовые данные, приведен ниже.
Результаты численных расчетов. Для отработки и выверки выше- приведенного алгоритма численного решения двухмерного уравнения диффузии частиц (3.2.36) ставились два численных эксперимента. В первом эксперименте расчеты концентраций частиц проводились для симметричных условий по обеим координатным осям x и y (число и величины пространственных шагов по осям x и y имели одинаковые значения).
Рассчитанные зависимости концентраций частиц от х и у приведены на рис 2.10.
Рис.3.20. Зависимости концентраций частиц от координат х и у
Как и следовало ожидать, зависимости концентраций частиц от координат x и y, изображенные на рис. 3.20, полностью совпадают, что подтверждает правильность разработанного выше алгоритма численного решения двухмерного уравнения диффузии частиц.
Во втором численном эксперименте число пространственных шагов было одинаковым, а их величины – разными и имели следующие значения:
Xn:=250; n:=50; yM:=50; M:=50; tk:=72000; k:=60; N0:=1; No:=1.2; Nyo:=1.2; Do:=0.4
Для этого случая рассчитанные зависимости концентраций частиц от координат х и у приведены на рис. 3.21.
Рис. 3.21. То же самое, что и на рис.3.20, только шаг интегрирования по оси x в пять раз больше, чем по y
Анализ зависимостей концентраций частиц от координат x и y, приведенных на рис.3.21, указывает на разный характер зависимостей N(t,x), так вдоль оси х возмущение, заданное левым краевым условием не успевает добежать до правой границы (большая сторона прямоугольника), то по оси y оно приходит на границу области.
Задание. Провести численное исследование процесса переноса частиц на основе нестационарного двухмерного дифференциального уравнения (3.2.36) при следующих начальных и граничных значениях концентрации N(x,у,0) и N(0,у,t), N(x,0,t) ( и ), а также коэффициентах диффузии D, приведенных в табл. 3.9.
Таблица 3.9
Номер пос-ледней циф-ры зачетной книжки |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
N(x,у,0)10-26м-3 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
N(0,у,t) 10-26м-3 |
26.2 |
25.2 |
24.2 |
23.2 |
22.2 |
21.2 |
20.2 |
19.2 |
18.2 |
17.2 |
N(x,0,t)10-26м-3 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
D,см2/сут |
0.1 |
0.09 |
0.08 |
0.07 |
0.06 |
0.11 |
0.12 |
0.13 |
0.13 |
0.14 |