4.2. Оптимальность по Парето.

Проиллюстрируем прием выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями: F₁ и F₂ (оба требуется максимизировать). Множество Х состоит из конечного числа n возможных решений х₁, х₂,…, х_n. Каждому решению соответствуют определенные значения показателей F₁, F₂; будем изображать решение точкой на плоскости с координатами F₁,

^F₂ ^{и занумеруем точки соответственно номеру решения (рис. 8).}

F2.	.2
	.1 .4		.5
	.7 .3 .8	.9
	.6		.10
	.17 .16 .15	.14	.12

.18 .19 .11

^{.20 F}₁

Рис. 8. Оптимальность по Парето.

Очевидно, из всего множества Х эффективными (доминирующими) будут только решения х₂, х₅, х₁₀, х₁₁, лежащие на правой верхней границе области возможных решений (см. точки, соединенные

пунктиром), причем х₁₁ – наилучшее по критерию F₁, х₂ – по критерию F₂. Дело лица, принимающего решение, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и «приемлем» по обоим критериям.

Аналогично строится множество эффективных решений и в случае, когда показателей не два, а больше (при этом геометрическая интерпретация теряет наглядность, но суть дела сохраняется).

Рассмотрим макроэкономическую модель Финляндии, построенную в

70-х годах. Качество решений оценивалось по четырем критериям:

С_! – увеличение валового национального продукта (в %);

С₂ – уменьшение инфляции (в %);

С₃ – уменьшение безработицы (в %);

С₄ – уменьшение дефицита внешней торговли (млрд. фин. марок).

В табл.13 приведены три различных варианта экономической политики.

_{Таблица 13. Значения критериев вариантов экономической политики}

Вариант решения	С!	С2	С3	С4
1	– 2,74	8,16	3,28	2,24
2	0,57	9,00	2,81	5,27
3	1,81	8,88	2,64	6,54
Наилучшие решения	7,18	8,16	1,88	1,21

В нижней строке табл.13 приведены наилучшие значения каждого из критериев, которые можно получить, если оптимизировать по одному критерию, не обращая внимания на другие. Наилучшие значения по всем критериям одновременно не достижимы. Легко видеть, что приведенные альтернативы являются точками множества Парето в четырехмерном пространстве критериев. Действительно, первый вариант дает наименьшее значение инфляции и дефицита внешней торговли, но отрицательный

прирост ВНП и большую безработицу. Третий вариант лучший по росту ВНД и уровню безработицы, но худший по дефициту внешней торговли. Эти противоречия отражают типичный характер вариантов многокритериальных решений.

Множество эффективных решений легче обозримо, чем множество Х. Что касается окончательного выбора решения, то он по-прежнему остается прерогативой человека. Только человек, с его непревзойденным умением решать неформальные задачи, принимать компромиссные решения (не строго-оптимальные, но приемлемые по ряду критериев) может взять на себя ответственность за окончательный выбор.

Однако сама процедура выбора решения, будучи повторена неоднократно, может послужить основой для выработки некоторых формальных правил, применяемых уже без участия человека. Речь идет о так называемых «эвристических» методах выбора решений. Предположим, что опытный менеджер (или, еще лучше, их группа) многократно выбирает компромиссное решение в многокритериальной задаче исследования

^{операций, решаемой при разных условиях α. Набирая статистику по}

результатам выбора, можно, например, разумным образом подобрать значения «весов» а₁, а₂,… в формуле (1), в общем случае зависящие от

^{условий α и самих показателей F1, F2,…, и воспользоваться таким}

обобщенным критерием для выбора решения, на этот раз уже автоматического, без участия человека. На это иногда приходится идти в случаях, когда времени на обдумывание компромиссного решения нет (например, в условиях боевых действий), или же в случае, когда выбор решения передается автоматизированной системе управления.

В некоторых случаях очень полезной оказывается процедура выбора решения в диалоговом (или интерактивном) режиме, когда компьютер, произведя расчеты, выдает лицу, управляющему операцией, значения

показателей F₁, F₂,…, а это лицо, критически оценив ситуацию, вносит изменения в весовые коэффициенты (или иные параметры управляющего алгоритма) и расчеты повторяются.

Часто применяется на практике способ свести многокритериальную задачу к однокритериальной – это выделить один (главный) показатель F₁ и стремиться его обратить в максимум, а на все остальные F₂, F₃,… наложить только некоторые ограничения, потребовав, чтобы они были не меньше каких-то заданных f₂, f₃,… Например, при оптимизации плана работы предприятия можно потребовать, чтобы прибыль была максимальной, план по ассортименту – выполнен или перевыполнен, а себестоимость продукции – не выше заданной. При таком подходе все показатели, кроме одного – главного (прибыль), переводятся в разряд

^{заданных условий α. Некоторый произвол в назначении границ f}2^{, f}3^,…,

разумеется, при этом остается; поправки в эти границы тоже могут быть введены в диалоговом режиме.

Существует еще один путь построения компромиссного решения, который можно назвать методом последовательных уступок. Предположим, что показатели F₁, F₂,… расположены в порядке убывающей важности. Сначала ищется решение, обращающее в максимум первый (важнейший) показатель F₁ = F₁*. Затем назначается, исходя из практических соображений, с учетом той точности, с которой нам

^{известны входные данные, некоторая «уступка» ∆F}1^{, которую мы согласны}

сделать для того, чтобы максимизировать второй показатель F₂. Наложим на показатель F₁ ограничение: он должен быть не меньше, чем F₁* – ∆F₁, и при этом ограничении ищем решение, обращающее в максимум F₂. Далее

^{снова назначаем «уступку» ∆F}₂^{, ценой которой можно максимизировать}

F₃, и т.д. Такой способ построения компромиссного решения хорош тем,

что здесь сразу видно, ценой какой «уступки» в одном показателе приобретается выигрыш в другом и какова цена этого выигрыша.

Так или иначе, при любом способе ее постановки, задача обоснования решения по нескольким показателям остается не до конца формализованной, и окончательный выбор решения всегда определяется волевым актом лица, принимающего решения (ЛПР). Дело исследователя – предоставить в распоряжение ЛПР данные, помогающие ему сделать выбор не «вслепую», а с учетом преимуществ и недостатков каждого варианта решения.