Ітерації припиняють при виконанні умови
|xi+1-xi|. (9.14)
Достатньою і необхідною умовою збіжності методу є
|`(x)|<1. (9.15)
Швидкість збіжності збільшується зі зменшенням |`(x)|.
9.2 Завдання
Обчислити
перший позитивний корінь трансцендентного
рівняння з таблиці 7/1 і всі дійсні корені
алгебраїчного рівняння з таблиці 8.1
зазначеними в таблицях методами з
точністю
.
9.3 Методичні рекомендації
Інтервали
[
,
b]
для кожного кореня або початкові
наближення коренів x
визначте, скориставшись результатами
робіт 7 і 8.
Перш, ніж використовувати методи дотичних або простих ітерацій, перевірте їхню збіжність.
При налагодженні виводьте на екран результати обчислень у кожній ітерації.
Для контролю правильності рішення виводьте на екран не тільки послідовні наближення коренів, але і значення функції f(x) у цих точках.
Оцінить швидкість збіжності різних методів.
Лабораторна робота 10 розв`язання систем нелінійних рівнянь
Мета роботи: навчитися розв`язувати системи нелінійних рівнянь ітераційним методами.
10.1 Теоретичні зведення
Система n рівнянь із n невідомими має вид:
(10.1)
………………..
Для розв`язання нелінійних систем використовують ітераційні методи.
Розглянемо деякі з них.
10.1.1 Метод простих ітерацій
Для застосування цього методу необхідно вихідну систему рівнянь перетворити до виду:
(10.2)
Якщо відомі початкові наближення коренів
(10.3)
то для їх уточнення використовуються формули:
(10.4)
де k=1,2,3,…,- номер ітерації.
Ітерації припиняють при досягненні умови
(10.5)
де
- припустима похибка результатів.
Достатні умови збіжності ітераційного процесу мають вид:
(10.6)
або
Вони повинні виконуватись для всіх значень i ( i =1,2,... ,n).
10.1.2 Метод Зейделя
Метод Зейделя відрізняється від методу простих ітерацій тільки формулами уточнення коренів:
(10.7)
У більшості випадків він забезпечує більш швидку збіжність ітераційного процесу.
10.1.3 Метод Н`ютона
Метод Н`ютона є похідним від методу дотичних для одного рівняння.
Вектор
збільшень коренів
на кожному кроцi
ітераційного процесу визначається
шляхом рішення системи n
лінійних рівнянь із n
невідомими:
(10.8)
…
де
…
(10.9)
…
матриця Якобi;
-
вектор правих частин вихідної системи
рівнянь (10.1).
Уточнення коренів виконують за формулою :
(10.10)
Ітерації припиняють при виконанні умови (10.5). Для більш жорсткого контролю можна разом з умовою (10.5) перевіряти умову:
.
(10.11)
10.2 Завдання
Розв`язати систему нелінійних рівнянь із початковими наближеннями з таблиці заданим методом.
10.3 Методичні рекомендації
1. Позначте у вихідній схемі рівнянь змінні одним ім'ям із різними індексами.
2. Перевірте, чи виконуються умови збіжності при заданих початкових наближеннях.
3. При розв`язанні системи нелінійних рівнянь методом Н`ютона зручно скласти підпрограми для обчислення матриці Якобi, розв`язання системи лінійних рівнянь, розв`язання системи нелінійних рівнянь. В основному модулі організуйте введення початкових наближень, звернення до підпрограми розв`язання системи нелінійних рівнянь, виведення результатів розрахунку.
4. При
рішенні системи методами Зейделя і
простих ітерацій зручно скласти
підпрограму для обчислення
.
Таблиця 10.1 – Завдання до лабораторної роботи №10
Номер варiанта |
Система рівнянь |
Метод |
Початкові набли-ження |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2x + tg xy = 0 ( y2 -7,5)2-15x=0 |
Простих ітерацій |
x0=3 y0 =0 |
2 |
tg x -cos 1,5y=0 2y3-x2-4x-3=0 |
Зейделя |
x0=0 y0 =1 |
3 |
10x2+9 y2-1=0 sin(3,2x+0,3y)+3x=0 |
Н`ютона |
x0=0 y0=0,5 |
4 |
cos y + 2x=0 0,24x+3,5y+x2y=0 |
Зейделя |
x0=0 y0=0 |
5 |
sin(x+0,4)+3,5y-1,5=0 cos(y+0,2)+0,5x=0 |
Простих ітерацій |
x0 =-1,3 y0=0,5 |
6 |
sin(3,3x-0,4y)+4x=0 8x2 +25y2-1=0 |
Н`ютона |
x0=0 y0=0,5 |
7 |
0,16x+2,1y+x2y=0 cos y + x=0 |
Зейделя |
x0=-1 y0=0 |
8 |
2,1y3-x2-4x-3=0 tg 2x-cos 2y=0 |
Те ж |
x0=0 y0=1 |
Продовження таблиці 10.1 |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
9 |
(y2 - 7,5)-15x=0 tg xy+2x=0
|
Простих ітерацій |
x0 =3 y0=0 |
11 |
tg xy+6x=0 -120x+(y2 - 20)2=0 |
Те ж |
x0=3 y0= - 0,5 |
12 |
0,9x+cos(y+1,6)=0 0,1-2y+sin(x+1,8)=0 |
Простих ітерацій |
x0 =0,5 y0=0,4 |
13 |
cos(y+0,6)+0,6x=0 sin(x+0,8)+2y-1=0 |
Те ж |
x 0= - 0,8 y0=0,5 |
14 |
tg 4x-cos 3y=0 2,3y3-x2-4x-3=0 |
Зейделя |
x0 =0 y0=1 |
15
|
2,2y3-x2-4x-3=0 tg 3x-cos 2,5y=0 |
Те ж |
x 0=0 y0=1 |
16
|
5x+tg xy=0 (y2-1,5)2-7,5x=0 |
Н`ютона |
x0=0,6 y0=-2 |
17
|
0,5y-0,5+sin(x+1,2)=0 0,7x+cos(y+0,8)=0 |
Те ж |
x0=-1 y0=0 |
18
|
sin(x+2,1)-3y+0,4=0 cos(y+1,8)+1,2x=0 |
Простих ітерацій |
x0=0,4 y0=0,5 |
19
|
4,9y+0,32x+x2y=0 cosy+3x=0 |
Те ж |
x 0=0 y0=0 |
20
|
(y2-5)2-20x-=0 tg xy+4x=0 |
Н`ютона
|
x0=0,3 y0=-2,8 |
21
|
sin(4x-0,5y)+5x=0 7x2+30y2-1=0 |
Те ж
|
x0=0 y0=0,5 |
22
|
tg 6x-cos 4y=0 2,5y3-x2-4x-3=0 |
Простих ітерацій |
x0=0 y0=1 |
23
|
6x+tg xy=0 (y2-2)2-12x=0 |
Н`ютона |
x0=0,5 y0=-2 |
24
|
sin(3,1x+0,2y)+2x=0 12x2+5y2-1=0 |
Те ж |
x0=0 y0=0,5 |
Продовження таблиці 10.1 |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
25
|
Cosy+5x=0 0,48x+6,7y+x2y=0 |
Зейделя |
x0=0 y0=0 |
26
|
tg 5x-cos 3,5y=0 2,4y3-x2 –3-4x=0 |
Те ж |
x0=0 y0=1 |
27
|
14x2+3y2-1=0 sin(3x+0,1y)+x=0 |
Н`ютона
|
x0=0 y0=0,5 |
28
|
0,6x+7,5y+x2y=0 cosy+6x=0 |
Простих ітерацій |
x0=0 y0=0 |
29
|
sin(x+1,6)-1=0 cos(y+1,2)+0,8x=0 |
Те ж |
x0=0,5 y0=0,8 |
30
|
4x2+35y2-1=0 sin(4,2x-0,6y)+6x=0 |
Ньютона |
x0=0 y0=0,5 |