Лабораторна робота 9 уточнення коренів трансцендентних і алгебраїчних рівнянь

Мета роботи: навчитися розв’язувати трансцендентні й алгебраїчні рівняння.

9.1 Теоретичні відомості

Численне рішення рівняння

f(x)=0 (9.1)

поділяється на два етапи: відокремлення коренів і уточнення їхніх початкових наближень ітераційними методами.

Найбільш розповсюдженими методами уточнення коренів є методи бісекцій, хорд, дотичних і простих ітерацій.

9.1.1 Метод бісекцій

Метод бісекцій, або метод половинного ділення, складається в послідовному розподілі відрізка, що містить корінь, навпіл:

,

де a і b - ліва і права межі кореня, тобто

b>a, (9.2)

f(a)*f(b)<0. (9.3)

Для кожного наступного ділення вибирається та половина відрізка, на кінцях якої функція має протилежний знак. При цьому інтервал існування кореня звужується за рахунок зміни одної з його меж: лівої (a = x) або правої (b = x).

Ітераційний процес ділення закінчується при виконанні умови:

b-a, (9.4)

де  - задана точність обчислення кореня. Іноді вимагають, щоб одночасно з (9.4) виконувалася умова:

|f(x)| . (9.5)

Метод половинного ділення - простий і надійний спосіб пошуку простих коренів рівняння f(x)=0. Він збігається для будь-яких безперервних функцій f(x), у тому числі тих, що не диференціруємі. Швидкість збіжності невелика. Для досягнення точності  необхідно витратити

Nlog₂((b-a)/ ) (9.6)

ітерацій. Це означає, що для одержання кожних 3 вірних десяткових знаків необхідно зробити близько 10 ітерацій.

Якщо на відрізку [a,b] знаходиться кілька коренів, то процес збігається до одного з них. Метод не застосовується для відшукання кратних коренів парного порядку.

9.1.2 Метод хорд

Метод хорд, або метод пропорційних частин полягає в послідовному розподілі відрізка [ , b] , що містить корінь, на частині, пропорційні значенням функції на кінцях відрізка:

, (9.7)

звідки

. (9.8)

Геометрично це еквівалентно заміні графіка функції f(x) хордою, що проходить через точки ( , f( )) і (b, f(b)).

Для закінчення ітераційного процесу замість умови (9.4) використовують умову

|x_i+1-x_i|, (9.9)

де x_i+1, x_i - останнє обчислене і попереднє йому наближення кореня відповідно. В іншому цей метод аналогічний методу бісекцій, але забезпечує більш швидку збіжність.

9.1.3 Метод дотичних

Метод дотичних, або метод Н`ютона, складається в послідовній апроксимації функції f(x) дотичними до кривої в точці попереднього наближення (x_і, f(x_і)), що перетинають вісь абсцис у точці наступного наближення x_і+1, визначаємого за формулою

(9.10)

Послідовність (9.9) збігається до дійсного значення кореня рівняння f(x)=0, якщо початкове наближення кореня належить інтервалу [a, b] (f(a)*f(b)<0), на якому похідні f'(x) і f ''(x) зберігають свій знак і задоволена умова

f(x₀)* f’’(x₀)>0. (9.11)

Ітерації припиняють при виконанні умов (9.9) і (або) (9.5).

Метод Н`ютона ефективний, якщо відомо гарне початкове наближення для кореня, і в околиці кореня графік функції має велику крутість. У добрих нагодах число вірних десяткових знаків у черговому наближенні подвоюється, тобто процес збігається дуже швидко.

Недоліком методу дотичних є необхідність розраховувати в кожній точці не тільки значення функції, але і значення похідної.

9.1.4 Метод простих ітерацій

Метод простих ітерацій складається в заміні вихідного рівняння f(x)=0 еквівалентним йому рівнянням

x=(x) (9.12)

і обчисленні послідовності

x_i+1=(x_i) (9.13)

(і=1, 2, 3,...), що збігається при i до точного рішення .