Лабораторна робота 5 обернення матриць

Мета роботи: навчитися обчислювати матрицю, зворотну заданій за допомогою ЕОМ.

5.1 Теоретичні відомості

Обернення матриць широко застосовується при розрахунку розгалужених електричних кіл різними методами в матричній формі.

Зворотною стосовно вихідної квадратної матриці називається така квадратна матриця

X_nxn=A^-1_nxn, (5.1)

яка, будучи помноженою на вихідну, дає одиничну діагональну матрицю E_nxn:

A_nxn*A^-1_nxn=E_nxn, (5.2)

або в розгорнутій формі

. (5.3)

Для матриць невеликого розміру (n3) обернення частіше виконують у ручну, використовуючи формулу

(5.4)

де A - союзна матриця (матриця, складена з алгебраїчних доповнень);

- визначник.

При n>3 розрахунки по формулі (5.4) стають дуже громіздкими.

Як видно з (5.3), елементи КС-го стовпця зворотної матриці Х можна визначити вирішуючи систему n лінійних рівнянь з n невідомими.

(5.5)

де (5.6)

КС=1, 2, ..., n.

Таким чином, для визначення всіх елементів зворотної матриці необхідно вирішити n систем рівнянь.

Цей підхід часто використовують при машинних розрахунках. Розв’язувати системи рівнянь можливо будь – яким із відомих методів, наприклад, методом Гаусса.

Якщо вже існує підпрограма рішення системи рівнянь, то алгоритм обернення матриці може бути представлений схемою (рисунок 5.1)

Якщо підпрограма рішення систем рівнянь відсутня, то прямий хід методу Гаусса виконують один раз над розширеною матрицею А, складеної з вихідної матриці AІ і приєднаної до неї ліворуч одиничної квадратної матриці Е:

(5.7)

або

(5.8)

і=1, 2, ..., n,

j=1, 2, ..., 2n.

У схемі прямого ходу в порівнянні з алгоритмом рисунка 5.1 зникнуть блоки 9 і 13, а в блоках 7 і 14 кінцеве значення змінної j стане рівним 2n.

Зворотний хід буде виконуватися n разів (при КС=1, 2,..., n). При цьому в схемі рисунка 3.2 елементи вектора коренів x_n, x_j i x_i необхідно замінити елементами зворотної матриці x_{n, KC} х_j.KC і

x_{i, KC}, а змінні b_n і b_i - змінними _{n, n+КС} і _i,n+КС відповідно.

5.2 Завдання

Виконати обернення довільних квадратних матриць другого, третього і четвертого порядків з контролем результату.

5.3 Методичні рекомендації

Оформити у вигляді окремих процедурних блоків ввод, вивід, обернення матриці і контроль результату.

Для перевірки правильності рішення обчислите і виведіть на екран скалярний добуток вихідної матриці на отриману зворотну. Якщо в результаті одержите одиничну діагональну матрицю (див. рівняння (5.3)), то результат вірний.