Лабораторна робота 3 рішення систем лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами

Мета роботи: навчитися обчислювати на ЕОМ корені систем лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами.

3.1 Теоретичні відомості

Рішення систем лінійних рівнянь використовується в електротехніці і похідних від неї дисциплінах при розрахунку статичних режимів у розгалужених електричних колах.

Система n лінійних рівнянь з n невідомими має вид:

(3.1)

Її можна записати й у матричній формі:

(3.2)

де - квадратна матриця коефіцієнтів;

- вектор вільних членів;

- шуканий вектор коренів.

Способи рішення систем лінійних рівнянь поділяються на дві групи:

- точні методи (метод обернення матриці коефіцієнтів, правило Крамера, метод Гаусса та ін.);

- ітераційні методи (Н`ютона, Зейделя, простих ітерацій та ін.).

Якщо матриця А неособлива, тобто її визначник не дорівнює нулю, то система має єдине рішення:

(3.3)

де - матриця, зворотна матриці А.

Обчислення коренів за формулою (3.3) називається методом обернення матриці коефіцієнтів.

Згідно з правилом Крамера корені розраховуються за формулами:

де - визначник матриці А;

- визначники матриць, отриманих з матриці А шляхом заміни її і-го стовпця вектором вільних членів .

Обидва з перерахованих вище методів використовують на практиці тільки при рішенні "вручну" систем рівнянь невисокого порядку. При n>3 ці методи дуже трудомісткі і не економічні.

Найбільш розповсюдженим з точних методів є метод Гаусса.

Метод Гаусса можна розбити на два етапи:

- прямий хід, що полягає в послідовному виключенні коренів з 1-го до n-го і перетворенні матриці коефіцієнтів до трикутного виду;

- зворотний хід, що полягає в послідовному визначенні коренів з n-го до 1-го з перетвореної системи рівнянь.

Виключення k-го кореня (k=1, 2,..., n-1) з і-го рівняння (і=k+1, k+2,..., n) виконується шляхом заміни всіх коефіцієнтів і-го рівняння різницею між колишніми коефіцієнтами цього рівняння і відповідними коефіцієнтами і-го рівняння, помноженими на мірильний множник:

. (3.4)

У результаті коефіцієнти і-го рівняння приймуть наступні значення:

_ik=0, (3.5)

_ij= _ij-p _kj (j=k+1,k+2,…,n), (3.6)

b_i=b_i-pb_k. (3.7)

У формулах (3.6) і (3.7) знак "=" використовується як символ операції присвоювання, у правій частині використовуються колишні значення коефіцієнтів a_ij і b_i, а в лівої – нові.

При виключенні коренів мінімальних похибок округлення при перерахуванні коефіцієнтів можна досягти перестановкою рівнянь таким чином, щоб модулі коефіцієнтів при коренях, що виключаються, х_k були максимально можливими. Цей етап методу Гаусса називають вибором головного елемента.

Відповідно до вищевикладеного схема алгоритму прямого ходу може мати вид, що представлен на рис. 3.1.

У результаті прямого ходу система рівнянь (3.1) перетвориться до виду:

(3.8)

Коефіцієнти _ij і b_i системи (3.8) не збігаються із відповідними коефіцієнтами вихідної системи (3.1).

З перетвореної системи корені можна розрахувати за формулами:

, (3.9)

(3.10)

Відповідно схема зворотного ходу може мати вид, наведений на рис. 3.2.

Алгоритм прямого ходу можна спростити, об’єднавши квадратну матрицю коефіцієнтів A_nxn і вектор - стовпець вільних членів у єдину матрицю AR_nx(n+1), яка називаеться розширеною матрицею коефіцієнтів, у якій (n+1)-й стовпець складають елементи вектора :

(3.11)

При цьому зі схеми рис. 3.1 зникнуть блоки 9 і 13, а в блоках 7 і 14 параметр j (номер стовпця) буде змінюватись не до n, а до n+1. У схемі рис. 3.2 у блоках 1 і 6 змінні і прийдеться замінити змінними і відповідно.

3.2 Завдання

Розрахувати струми і напруги в вітках електричних кіл, наведених на рис. 3.3, методом законів Кірхгофа. Параметри схем наведені в таблиці 3.1. Виконати перевірку результатів.

3.3 Методичні рекомендації

Якщо використується мова програмування Паскаль: процес визначення коренів системи рівнянь зручно оформити у виді підпрограми (процедури) з формальними параметрами n, A, B і X, причому масив Х повинний бути обов'язково описаний як параметр-змінна (із ключовим словом var). При використанні розширеної матриці коефіцієнтів формальними параметрами процедури будуть n, A і Х.

Для опису типів масивів у розділі констант доцільно визначити максимально припустимі розміри масивів.

Для того, щоб підпрограма методу Гаусса була універсальною, вона не повинна містити процесів вводу вихідних даних і виводу результатів.

Основний модуль програми повинний містити ввод вихідних даних, формування фактичних параметрів для підпрограми методу Гаусса, виклик цієї підпрограми, вивід результатів і перевірку правильності рішення.

Для перевірки можна обчислити і вивести на екран значення функцій

f_i= _i1x₁+ _i2x₂+…+ _inx_n-b_i (3.12)

(i=1, 2,…, n).

При правильному рішенні ці значення повинні бути близькі до нуля.

Вивід матриці і контроль результатів можна також оформити у виді окремих підпрограм.

Таблиця 3.1 – Параметри схем

Номер Варіан-та	В	В	В	В	В	В	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
1-6	130	500	120	240	170	380	21	14	13	16	9	20
7-12	360	190	210	130	450	170	8	9	16	13	21	12
13-18	120	220	340	80	510	160	5	18	12	14	7	28
19-24	280	540	310	160	90	360	12	6	24	10	14	18
25-31	340	110	280	210	130	260	27	30	4	6	22	11

P=a_ik /a_kk

Рисунок 3.1 – Прямий хід метода Гауса

Рисунок 3.2 – Зворотній хід метода Гауса

Рисунок 3.3 – Схеми до завдання 3.2