Лабораторна робота 2 найпростіші операції з матрицями

Мета роботи: навчитися обчислювати суму, різницю і скалярний добуток матриць, транспонувати їх і визначати норми матриць.

2.1 Теоретичні відомості

В електротехнічних розрахунках часто використовуються матриці і вектори (вектором називають матрицю-рядок чи матрицю-стовпець). У даній лабораторній роботі розглянуті найпростіші операції над матрицями: сума, різниця, множення, транспонування, обчислення деяких норм. Більш складні операції будуть розглянуті пізніше.

2.1.1 Сума і різниця двох матриць

Сумою двох матриць одного і тогож розміру

A+B=[ _i,j]+[b_i,j] (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)

називається матриця C=[C_i,j] того ж розміру, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць A і B:

C_ij= _ij+b_ij. (2.1)

Різниця матриць визначається аналогічно сумі, тільки у елементів матриці, що віднімається, знак змінюється на протилежний, тобто елементи матриці С=В-А обчислюються за формулою:

C_ij= _ij-b_ij (2.2)

(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n).

2.1.2 Скалярний добуток матриць і зведення їх у ступінь

Скалярним добутком матриці А розміром mk на матрицю В розміром kn називається матриця С розміром mn , елементи якої обчислюються за формулою:

(2.3)

Відзначимо, що матриця С=АВ визначена тільки тоді, коли число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В.

Для скалярного добутку матриць несправедливий перемістительний закон, тобто АВ≠ВА.

Частинним випадком множення матриць є множення матриці А розміром mk на вектор-стовпець , що складається з k елементів, і вектора-рядка , що складається з k елементів, на матрицю В розміром kn.

У першому випадку результатом буде вектор-стовпець з елементами

(2.4)

(і=1, 2,..., m) , а в другому випадку – вектор - рядок з елементами

. (2.5)

Відповідно до поняття про скалярний добуток матриць у цілу позитивну ступінь k можна возвести тільки квадратну матрицю:

А ^k=((АА)А)…А) (2.6)

k- співмножників

2.1.3 Транспонування матриць

Якщо в матриці А розміром mn замінити рядки відповідними стовпцями, то одержимо матрицю А розміром nm, що називається транспонованою стосовно матриці А.

Таким чином,

_ij^T= _ji

(i=1,2,…,n; j=1,2,…,m).

2.1.4 Норми матриць

Під нормою матриці A=[a_ij] розуміється дійсне число ||A||, що задовольняє наступним умовам:

- ||A||≥0 (причому ||A=0|| тільки при А=[0]),

• ||A||=||*||A||, де  - дійсне число (причому ||-A||=||A||),

• ||A||+||B||≥||A+B||,

• ||AB||||A||*||B||,

• ||A-B||≥|||B||-||A|||.

До найбільше легко обчислювальних норм відносяться наступні три норми:

(2.7)

максимальна сума модулів елементів матриці по рядках;

(2.8)

максимальна сума модулів елементів матриці по стовпцях;

(2.9)

корінь квадратний із суми квадратів модулів всіх елементів матриці.

2.2 Завдання

Виконати операції над матрицями відповідно до виразів, що наведені в таблиці 2.1. Повторювані дії оформити у виді окремих процедур:

, , , .

Таблиця 2.1

Номер варіанта	Завдання
1	2
1	Перевірити співвідношення: ||A+C||1 ||A||1+||C||1
2	||A*B||1 ||A||1*||B||1
3	||A-C||1 | ||C||1-||A||1 |
4	||A+C||2||A||2+||C||2
5	||A*B||2||A||2*||B||2
6	||A-C||2 | ||C||2-||A||2 |
7	||A+C||3||A||3+||C||3
8	||A*B||3||A||3*||B||3
продовження таблиці 2.1
1	2
9	||A-C||3 | ||C||3-||A||3 |
10	Обчислити: K=A+C+BT
11	K=B(A+C)+D
12	K=(A-C)*(D*B)
13	K=BT-A-C
14	K=B*A*B
15	L=||A+C||1+||B||1
16	L=||A||1+||B||2+||C||1
17	K=C*D+A+C
18	K=B*C*D
19	||A||1 ||AT||1 ||B||1 ||BT||1
20	K=D*CT*A
21	K=D-B*C-B*A
22	K=AT+CT+B
23	K=(A-C)*B
24	K=C*D-A-C