Лабораторна робота 16 пошук екстремальних значень функцій методом золотого перерiзу
Мета роботи: навчитися визначати максимальні і мінімальні значення функції на заданому інтервалі.
16.1 Теоретичні вiдомостi
Пошук екстремумiв функції одної змінної має не тільки самостійний інтерес, а і є важливим елементом процесів мінімізації функцій декількох змінних (багатовимiрної мінімізації) при розв`язанні різноманітних задач оптимізації.
Метод, що описується нижче, дозволяє знайти точку екстремума функції f(x) на інтервалі [a,b]. Для певності пошуку відрізок [a,b] повинний містити один максимум або мінімум досліджуваної функції.
Золотим перерiзом відрізка називають ділення його на дві частини таким чином, що відношення довжини усього відрізка до довжини більшої частини дорівнює відношенню довжини більшої частини до меншої.
Неважко довести, що золотий перерiз відрізка [a, b] виконують дві симетрично розташовані точки:
(16.1)
де
(16.2)
Причому точка x1 у свою чергу робить золотий перерiз відрізка [a, x2], а точка x2 - відрізка [x1, b].
Відповідно до вищевикладеного, пошук мінімального значення функції на заданому інтервалі [a, b] може бути виконаний у такий спосіб:
- відрізок [a, b] дiлимо точками x1 і x2 за правилом золотого перерiзу;
- обчислюємо значення функції, що мiнiмiзується, f(x) у точках x1 і x2 ;
- при f(x1)>f(x2) змінюємо ліву границю інтервалу a=x1, а в противному випадку - праву b=x2;
- повторюємо процес спочатку, враховуючи, що одна з точок золотого перерiзу уже відома;
- ітерації продовжуємо доти, поки інтервал невизначеностi [a, b] не стане менше заданої похибки ;
- після завершення ітерацій точку мінімуму можна уточнити, розділивши відрізок [a, b] навпіл:
Аналогічно можна знайти максимум функції.
16.2 Завдання
Знайти максимальне або мінімальне значення функції на інтервалі [a, b] із точністю . Вихiднi дані приведені в таблиці 16.1. Побудувати графік функції і відзначити на ньому точку екстремума.
Таблиця 16.1 – Завдання до лабораторноъ роботи №16
№ з/р |
f(x) |
a |
b |
|
Вид екстремума |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
|
4 |
5
|
10-5 |
Мінімум |
2 |
|
0 |
2
|
10-4 |
Максимум |
3 |
|
-1 |
2
|
10-3 |
Мінімум |
4 |
|
1 |
2 |
10-5 |
Максимум |
5 |
|
-2 |
0 |
10-4 |
Мінімум |
6 |
|
0 |
2 |
10-3 |
Максимум |
7 |
|
-2 |
0 |
10-4 |
Мінімум |
8 |
|
0 |
1 |
10-5 |
Максимум |
9 |
|
-2 |
0 |
10-3 |
Мінімум |
Продовження таблиці 16.1 |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
10 |
|
-1 |
1 |
10-3 |
Максимум |
11 |
|
0 |
2 |
10-3 |
Мінімум |
12 |
|
|
|
12 -6 |
Максимум |
13 |
|
1 |
3 |
10-4 |
Мінімум |
14 |
|
1 |
2 |
10-5 |
Максимум |
15 |
|
-1 |
0 |
10-4
|
Мінімум
|
16 |
|
0,1 |
2 |
10-3 |
Максимум |
17 |
|
0,1 |
0,18 |
10-6 |
Мінімум
|
18 |
|
-0,1 |
0,6 |
10-5 |
Максимум |
19 |
|
-1 |
1 |
10-4 |
Мінімум |
20 |
|
-1 |
2 |
10-3 |
Максимум
|
21 |
|
1,6 |
3 |
10-4 |
Мінімум |
22 |
|
0,2 |
0,5 |
10-6
|
Максимум
|
23 |
|
-5 |
0 |
10-3
|
Мінімум |
24 |
|
0,5 |
1,6 |
10-4 |
Максимум |
25 |
|
0,1 |
1 |
10-5 |
Мінімум |
