Лабораторна робота 13 апроксимацiя методом найменших квадратів

Мета роботи: навчитися описувати табличні функції аналітичними виразами.

13.1 Теоретичні вiдомостi

Апроксимація (від лат. : approximare - наближатися)- це наближене вираження яких-небудь величин через інші, більш прості величини.

Апроксимація табличної функції

y_i = f(x_i) , (13.1)

i=1,2,…,n . (13.2)

методом найменших квадратів складається у визначенні параметрів деякої аналітичної функції F(x), що забезпечують мінімізацію функцiонала.

(13.3)

Якщо в якості апроксимуючої функції обраний ступеневий багаточлен

(13.4)

то задача зводиться до визначення вектора коефіцієнтів шляхом розв`язання системи лінійних рівнянь (k+1) –го порядку:

(13.5)

де (13.6)

(13.7)

m=0,1,…,k.. (13.8)

Після перетворень система (13.5) прийме вид:

(13.9)

З системи (13.9) бачимо, що елементи матриці коефіцієнтів А й вектори вільних членів можна описати формулами:

(13.10)

Після визначення коефіцієнтів систему (13.9) можна розв`язаним будь-яким із відомих методів, наприклад методом Гаусса.

Апроксимацію методом найменших квадратів часто застосовують для згладжування табличних функцій, отриманих у результаті експерименту, а також для зменшення обсягу інформації про табличні функції при невисоких вимогах до точності розрахунків.

13.2 Завдання

Апроксимувати табличну функцію, що приведена в таблиці роботи 12, ступеневим багаточленом k-го порядку методом найменших квадратів. Для непарних варіантів k=3, для парних - k=2. Обчислити значення функцiонала, що мiнiмiзується. Проiлюструвати результати графіками. Виконати програму двічі при різній кількості табличних точок (n=9 і n=5). Оцінити вплив кількості точок на точність апроксимації.

13.3 Методичні рекомендації

При використанні для рішення системи рівнянь (13.9) стандартних підпрограм необхідно узгодити індекси стандартної системи рівнянь (що не містить коефіцієнтів із нульовими індексами) і системи (13.9). Узгодження складається в зміні формул. (13.10 ).

Лабораторна робота 14 чисельне інтегрування

Мета роботи: навчитися обчислювати на ЕОМ визначені інтеграли від функцій, заданих таблично й аналітично.

14.1 Теоретичні вiдомостi

Задачi, у яких потрібно обчислення інтегралів, виникають практично у всіх областях прикладної математики.

Чисельні методи інтегрування засновані на тому, що інтервал [a, b] розбивають на участки, на кожному з яких крива, що описується подiнтегральною функцією f(x), заміняється деякою іншою кривою, для якої обчислення інтеграла виконується за достатньо простими формулами, а потім усі площі підсумовуються.

При заміні подiнтегральної функції поліномами, що интерполюють, одержують т.званi. квадратурнi формули. Квадратурнi формули для рівновіддалених вузлів інтерполяції називають формулами Ньютона-Котеса.

У залежності від ступеня полінома, що интерполює, розрізняють методи прямокутників, трапецій і квадратичних трапецій, або метод Сiмпсона.

Основні формули і показники, що характеризують ці методи при розбивці інтервалу інтегрування на рівні відрізки, приведені в табл. 14.1, де прийняті такі позначення:

n - число участків розбивки,

- крок інтегрування,

(14.1)

Похибка методів визначається величиною інтеграла від залишкового члена интерполяцiйного полінома. У формулах для оцінки похибки M_i - максимальне значення i-ої похідної на інтервалі [a, b].

Таблиця 14.1 – Завдання до лабораторної роботи №14

Назва методу	Ступiнь полінома, що iнтер-полює		Похибка
Прямокутни-кiв	0
Трапецiй	1
Сiмпсона	2

При використанні методу Сiмпсона число участків розбивки обов'язково повинно бути парним (n=2k) і всі участки повинні бути однаковими (h=const). При нерівномірній розбивці інтервалу інтегрування використовують звичайно методи прямокутників і трапецій, для яких формули чисельного інтегрування в цьому випадку набувають виду:

(14.2)

за методом прямокутників,

(14.3)

за методом трапецій.

Для забезпечення заданої точності інтегрування часто використовують алгоритми з автоматичним вибором кроку (АВК), у яких використовують такий прийом. Обчислюють значення інтеграла одним із розглянутих методів із деяким початковим кроком h, а потім повторюють ці ж обчислення з половинним кроком . Якщо виявиться, що

(14.4)

де - припустима похибка інтегрування,

то обчислювальний процес припиняють, у противному випадку удають до подальшого роздрібнення кроку.

Отримане таким методом наближене значення інтеграла можна уточнити, використовуючи екстраполяцiйний перехід до лімiту, що був запропонований Рiчардсоном:

, (14.5)

1 - для методу прямокутників,

де k= 2 - для методу трапецій,

3 - для методу Сiмпсона.

14.2 Завдання

14.2.1 Інтегрування табличних функцій

Розрахувати визначений інтеграл від табличної функції, заданої в табл. 14.2. Непарнi варіанти використовують метод трапецій при нерівномірній розбивці інтервалу інтегрування і метод Сiмпсона - при рівномірнiй, парнi варіанти в аналогічних ситуаціях використовують метод прямокутників і метод трапецій відповідно.

14.2.2 Інтегрування функцій, заданих аналітично

Обчислити визначений інтеграл

для функції, приведеної в табл. 14.2, на заданому інтервалі [a,b] із заданою точністю , використовуючи зазначений у таблиці метод з автоматичним вибором кроку.

14.3 Методичні рекомендації

Для візуального контролю результату побудуйте графік подiнтегральної функції і нанесiть на нього пряму, паралельну вiсі абсцис, на рівні

При правильному розв`язанні площа, обмежена подiнтегральною кривою і прямими х=а, x=b і y=0, буде приблизно дорівнює площі прямокутника, обмеженого відрізками прямих y=y_сp , x=a, x=b, y=0.

Таблиця 14.2 – Вихідні дані до лабораторної роботи №14

Варiант	Метод		f(x)	a	b	Параметри
1	2	3	4	5	6	7
1	Прямокутників	10-5		0		=0,182
2	Сiмпсона	10-3
3	Трапецiй	10-4		0		c=0,953 d=2,295
4	Прямокутників	10-2
5	Трапецiй	10-6		0	1	c=3,18 d=-1,37
6	Сiмпсона	10-3
7	Прямокутників	10-2		0		m=3
8	Трапецiй	10-4
9	Те ж	10-5		0	1	c=1,21
10	Сiмпсона	10-3
11	Трапецiй	10-2		0		c=8,53 d=0,524
12	Прямокутників	10-4
13	Сiмпсона	10-5		0	1	c=0,732
14	Трапецiй	10-3
Продовження таблиці 14.2
1	2	3	4	5	6	7
15	Прямокутників	10-4		0		c=3,76 d=8,39
16	Трапецiй	10-2
17	Сiмпсона	10-6		0	1	c=4,18
18	Трапецiй	10-3
19	Те ж	10-2		0	1	c=0,874
20	Прямокутників	10-4
21	Сiмпсона	10-5		1	2	c=2
22	Трапецiй	10-3
23	Прямокутників	10-2		1	5
24	Сiмпсона	10-4
25	Те ж	10-5		0		c=0,5
26	Трапецiй	10-3