Лабораторна робота 12 інтерполювання

Мета роботи: навчитися визначати значення функцій, якi заданi у виглядi таблицi, при будь-яких значеннях аргументів за допомогою інтерполювання функцій ступеневими багаточленами.

12.1 Теоретичні зведення

У науці і техніцi багато функціональних залежностей задаються не аналітично, а у вигляді графіків або таблиць.

У ЕОМ інформація про такі функції вводиться у вигляді масивів, наприклад:

y_i = f (x_i), (12.1)

i=0,1,…,n . (12.2)

Задача інтерполювання полягає у знаходженнi наближеного значення нелінійної функції y у точках, що відрізняються від вузлів ( ) .

Цю задачу можна вирішити, якщо знайти функцію F(x), яка интерполює, що приймає на деякому інтервалі [ x_j, x_{j + k} ] значення, що збігаються зі значеннями табличної функції (12.1) у вузловых точках:

F(x_j )=y_j,…,F(x_j+1)=y_j+1,…,F(x_j+k)=y_j+k. . (12.3)

Точку x_j називають початковим вузлом інтерполяції.

Дуже часто в якості функції, що iнтерполює, використовують алгребраїчний поліном :

(12.4)

. (12.5)

При k=n багаточлен (12.4) стає глобальним iнтерполянтом, тому що в цьому випадку його значення збігаються зі значеннями вихідної функції в усіх вузлах ( j=0, j+k=n ).

Якщо таблична функція є заданою у рівномірно розташованих вузлах, тобто:

x_i+1–x_i=h=const, (12.6)

то значення y(x) можна визначити за першою iнтерполiйною формулою Ньютона:

(12.7)

де ; (12.8)

- прямі різниці відповідних порядків у початковому вузлі.

Якщо вузли табличної функції розташованi нерівномірно (x_i+1-x_i=var), то значення y(x) можна визначити за интерполяцiйною формулою Лагранжа:

(12.9)

Формули (12.8), (12.9) можна застосовувати для знаходження y(x) на інтервалі [x_j, x_j+k], проте найбільшу точність вони забезпечують поблизу початкового вузла інтерполяції x_j :

Тому перш, нiж застосовувати iнтерполяцiйнi формули, необхідно визначити номер початкового вузла інтерполяції. Умову вибору можна виразити таким чином:

0 при x < x₀,

j= n-k при x > x_n-k ,

i при x_i x < x_i+1, i=1,2,…,n-k .

У технічних розрахунках звичайно застосовують лінійну або квадратичну інтерполяцію. У цьому випадку формули (12.7) і (12.9) набувають такого вигляду:

при k = 1:

(12.10)

(12.11)

при k = 2:

(12.12)

. (12.13)

Формули (12.10) і (12.11) являють собою рівняння прямої, що проходить через точки ( x_j, y_j ) і ( x_j+1, y_j+1 ), а (12.12) і (12.13) - рівняння квадратичної параболи, що проходить через точки ( x_j, y_j ), ( x_j+1, y_j+1 ), ( x_j+2, y_j+2 ).

12.2 Завдання

Обчислити наближені значення табличних функцій, приведених у таблиці 12.1, для аргументів, що змінюються по таких законах:

для непарних варіантів:

x=10 sint, t=0.5, 0.6,…,1.5;

для парних:

x=10 cost, t=0.1, 0.2,…,1.

У залежності від розташування вузлів застосувати квадратичную інтерполяцію Н`ютона або лінійну Лагранжа. Вiрнiсть рoзв`язання перевірити графічно.

12.3 Методичні рекомендації

1. Масиви табличних значень аргументу функції і поточні їхній значення x у програмі повинні бути позначені різними ідентифікаторами, наприклад,

2. Після пошуку номера початкового вузла інтерполяції перевірте умову x=x_j . При його виконаннi не використовуйте iнтерполяцiйну формулу, а визначайте значення безпосередньо з таблиці: y=y_j.

Таблиця 12.1 – Завдання до лабораторної роботи №12

Номер варiанту	Табличнi функцiї
1	2
1,2	xi	-1	1	3	5	7	9	11	13	15
	zi	8,71	109,8	124,4	122,5	112,1	96,6	80,2	6,3	57,9
3,4	xi	2	3,2	4,4	6,2	7,8	9,5	10,9	11,5	12,7
	wi	19,9	22	30	42,1	65	99,5	120	126,8	133,4
5,6	xi	-3,5	-1,5	0,5	2,5	4,5	6,5	8,5	10,5	12,5
	hi	0,45	-3,09	-4,01	-3,9	-3	-1,62	-0,18	0,99	1,72
7,8	xi	1,25	2,59	4,4	6,54	8,5	11,5	13,5	14,9	15
	Pi	3,0	5,0	7,0	8,5	9,3	9,9	10,6	11,2	11,64
9,10	xi	-2	0	2	4	6	8	10	12	14
	fi	7,84	7,13	6,31	5,29	4,03	2,5	0,87	-0,68	-0,79
11,12	xi	-1,5	1	2,7	5,5	6,5	8,3	9,6	11,2	12,75
	Ui	2,45	1,12	-1	-2,1	-2,3	- 1,9	-1	2	3,5
13,14	xi	0,67	1,5	2,5	3,5	5	6,5	10	12,4	14
	Si	110	118,7	124,5	125,2	122,5	115,1	88,3	70	61,2
15,16	xi	0,5	2,5	4,5	6,5	8,5	10,5	12,5	14,5	16,5
	pi	23,7	20,1	27,8	45,3	79,2	115,4	132,9	141,1	147
17,18	xi	-2,77	-0,5	1	2	3,5	7	10	11,5	12,5
	zi	-1,5	-3,65	-4,03	-4,0	-3,54	-1,58	0,73	1,4	1,83
19,20	xi	0,5	2,0	3,5	5,0	6,5	8,5	9,5	11,0	12,5
	Wi	1,23	0,92	0,78	0,68	0,6	0,53	0,49	0,47	0,45
21,22	xi	-1	1	3	5	7	9	11	13	15
	hi	1,02	2,57	5,51	7,52	8,69	9,38	9,79	10,35	1,64
Продовження таблиці 12.1
1	2
23,24	xi	-3	0,5	1,5	2,5	4,3	6,2	7,7	9,0	11
	fi	9,4	7,52	6,75	5,8	3,6	0,53	-1,5	-2,94	-4,4
25,26	xi	-4	-2	0	2	4	6	8	10	12
	Ui	3,1	2,66	1,74	0,35	-1,26	-2,28	-2,07	-0,54	2,53
27,28	xi	0	0,4	1,5	3,0	4,6	7	9,2	11,5	13
	Si	1,47	1,26	0,99	0,82	0,7	0,57	0,5	0,46	0,44

3. Для графічної перевірки виведіть на екран у графічному режимі табличну функцію та її інтерпольовані значення в різній формі або різному кольорі. Наприклад, функцію виводьте у вигляді “решiтки” (відрізки з координатами кінців (x_i,0), (x_i,y_i), i=0,1,. .,n), а інтерпольовані значення - у вигляді точок (x,y) або функцію - у вигляді ломаної кривої, що складається з відрізків із координатами (x_i-1,y_i-1) (x_i,y_i), а інтерпольовані значення - у виді решiтки.