Лабораторна робота 11 чисельне розв`язання лінійних диференціальних рівнянь

Мета роботи: навчитися розв`язання чисельними методами звичайні лінійні диференціальні рівняння з початковими умовами і їхнi системи.

11.1 Теоретичні вiдомостi

Розв`язання диференціальних рівнянь складає фундамент математичного моделювання різноманітних пристроїв, процесів, систем.

В електротехніцi та похiдних від неї дисциплінах розв`язання диференціальних рівнянь використовується при розрахунку перехідних процесів.

Звичайне диференціальне рівняння n-го типу порядку має вид:

(11.1)

де x - незалежна перемінна;

y(x) - невідома функція незалежної змінної,

- її похідні.

Для визначення приватного окремого розв`язання (11.1) повинні бути відомі n початкових умов:

…, (11.2)

Чисельне розв`язання диференціального рівняння складається у визначенні таблиці значень y_i(x_i)(i=0,1,2,…,k) на деякому інтервалі [ x₀, x_k].

Різницю між двома сусідніми табличними значеннями аргументу називають кроком інтегрування

h = x_i+1 – x_{i .} (11.3)

До числа найбільше поширених чисельних методів розв`язання диференціальних рівнянь вiдноcяться методи Рунге-Кутта.

Методи Рунге-Кутта узгоджуються з розкладанням функції y(x) у ряд Тейлора в окрузі точки x_i аж до членів, що містять h^p :

(11.4 )

Показник ступеня p при h в останньому члені, який було сумовано, у рядi Тейлора визначає порядок методу.

Метод Рунге-Кутта першого порядку називають методом Ейлера, другого порядку - модифікованим методом Ейлера, або методом Ейлера-Коши. Методи більш високих порядків не мають спеціальних назв.

Для використання методів Рунге-Кутта необхідно вихідне диференціальне рівняння (11.1) перетворитити в систему n диференціальних рівнянь першого порядку в нормальній формі Коши:

= f₁(x,y₁,y₂,…,y_n),

=f₂(x,y₁,y₂,…,y_n),

………………… (11.5)

= f_n(x,y₁,y₂,…,y_n),

y₁(x₀)=y₁₀,y₂(x₀)=y₂₀,…,y_n(x₀)=y_n0.. (11.6)

Допоміжні змінні y₁, y₂,…, y_n і їхні початкові умови в процесі перетворення однозначно зв'язуються з невідомою функцією y та її похідними.

Відповідно до методу Ейлера один крок рішення системи диференціальних рівнянь (11.5) із початковими умовами (11.6) виконується за формулою:

y_i (x+h) = y_i(x)+ hf_i(x,y₁,y₂,…,y_n), (11.7)

i=1,2,…,n

Метод Eйлера-Коши потребує обчислення вектора похідних (правих частин диференціальних рівнянь) у двох точках:

K1i=fi (x,y1,y2, …, y_n ), (11.8)

K2i=fi (x+h,y1+hK11,y2+h12, …, y_n+hK_1n);

(11.9)

Відповідно при використанні методу Рунге-Кутта четвертого порядку вектор поxiдних на кожному кроцi чисельного інтегрування обчислюється чотири рази:

(11.10 )

(11.11)

Обчислення за приведеними вище формулах продовжуються доти, доки не буде досягнутий кінець інтервалу [x₀, x_k].

Похибка методів Рунге-Кутта визначається виразом:

. (11.12)

Величина коефіцієнта K залежить від системи, що розв'язується.

11.2 Завдання

Розв'язати систему диференціальних рівнянь із початковими умовами з таблиці 11.1 в заданому інтервалі з заданим кроком, використовуючи метод Ейлера-Коши (непарнi варіанти) або метод Рунге-Кутта четвертого порядку (парнi варіанти). Порівняти результати.

11.3 Методичні рекомендації

1. Позначте у вихідній системі рівнянь залежні змінні одним ім'ям із різними індексами (наприклад, y=y₁, z=y₂ ).

2. Виділiть в окремі підпрограми обчислення вектора похiдних при заданих значеннях x і та один крок чисельного інтегрування системи диференціальних рівнянь заданим методом.

3. У основному модулі організуйте введення вихідних даних (x₀, x_k, h, n, початкові умови) і ітераційний цикл за незалежною змінною x, усередині якого викликайте підпрограму заданого методу та виводьте результати (у вигляді таблиці або графіка).

4. Для контролю роботи програми розв`яжіть спочатку тестову систему диференціальних рівнянь другого порядку, для якої відомо аналітичне розв`язання. Порівняйте результати чисельного й аналітичного розв`язаннь.

Таблиця 11.1 – Завдання до лабораторної роботи №11

№ п/п	Дифференцiальнi рівняння	Параметри	Iнтервал	Крок	Початковi умови
1	2	3	4	5	6
1,2		a=2,5 b=3,0	tн=0 tк=0,3	ht=0,02	x(0)=1 y(0)=0,05
3,4		a=2,0 b=3,5	tн=0 tк=0,3	ht=0,02	x(0)=1 y(0)=0,5
5,6		a=2,5 b=3,5	tн=0 tк=0,15	ht=0,01	x(0)=0,5 y(0)=1
7,8		a=2,0 b=4,5	tн=0 tк=0,28	ht=0,02	x(0)=0,5 y(0)=1
9, 10		a=3,0 b=2,5	tн=0 tк=0,18	ht=0,01	x(0)=1 y(0)=0,5
11,12			x н=0 xк=1	hx=0,1	y(0)=0 z(0)=-0,4
13,14		n=4	xн=0 xк=1,2	hx=0,1	y(0)=1 z(0)=0
Продовження таблиці 11.1
1	2	3	4	5	6
15,16		a=2,0 c=4,5	xн=0 xк=0,3	hx=0,02	y(0)=1 z(0)=0,05
17,18			xн=0 xк=0,3	hx=0,02	y(0)=1 z(0)=0,5
19,20		k=2 n=4	xн=0 xк=0,28	hx=0,02	y(0)=0,5 z(0)=1
21,22		c=2 d=4,5	xн=0 xк=0,18	hx=0,01	y(0)=1 z(0)=0,5
23,24		k=3 c=2,5	xн=0 xк=0,3	hx=0,02	Y(0)=1 z(0)=0,5