4.3.2. Визначення частотних характеристик
До частотних характеристик належать амлітудно- фазова характеристика (АФХ), амплітудно частотна (АЧХ), фазова частотна (ФЧХ), а також логарифмична амплітудна частотна характеристика (ЛАЧХ) та логарифмична фазовачастотна характеристика (ЛФЧХ). Частотні характеристики відображають закономірності проходження через систему гармонійного сигналу.
Комплексна амплітудно-фазова функція виходить при заміні в передавальній функції p на iω
де
речова
частотна характеристика;
уявна
частотна характеристика.
АФХ
будується в координатній площі
та
,
на кривій зазвичай позначають точки та
обчислення значення
для
них.
АЧХ и ФЧХ визначається за формулами
,
Ці характеристики зображуються разом на графіку.
Передавальна функція розглядаємої САК
.
Після
підстановки
маємо
Виділимо речову та уявну складові:
А
ФХ
показана на рис. 4.10, АЧХ и ФЧХ приведені
на рис. 4.11 (графіки отримані в середовище
пакету прикладних програм MATLAB).
Рис. 4.10. АФХ
Рис. 4.11. АЧХ и ФЧХ
4.4. Визначення області стійкості у площені параметрів ПД - регулятора
Для підвищення якості регулювання САК охватимо її загальним зворотним негативним зв'язком (рис. 4.12). В зворотній зв'язок введемо корегуючи ланку – пропорційно-діференціальний регулятор (ПД – регулятор) с передавальною функцією
,
де Т – постійна часу корегуючої ланки;
k – коефіцієнт передачі корегуючої ланки.
Рис. 4.12. Структурна схема САК з корегуючою ланкою ПД - регулятором в загальному зворотньому негативному зв'язку
Визначимо область стійкості САК в площині параметрів настройки корегуючої ланки. Кордони області стійкості знайдемо за допомогою критерію Рауса-Гурвіца.
Згідно даному критерію система порядку n=3 знаходиться на межі стійкості у випадку рівняння нулю одного з коефіцієнтів характеристичного рівняння або діагонального мінору
Визначимо передавальну функцію замкненої САК
та її характеристичний поліном
.
Дорівняв до нуля коефіцієнти характеристичного поліному, отримаємо наступні кордони області стійкості
Таким чином, перша вимога критерію Рауса-Гурвіца накладає для системи, що є стійкою наступні обмеження
Дорівнюємо до нуля діагональний мінор
або після перетворений
Вирішивши рівняння відносно k, отримаємо
Область стійкості у площі параметрів настройки корегуючої ланки показана на рис. 4.13 (графіки кордонів області стійкості отримані в середовищі пакету прикладних програм MATLAB).
Р
ис.
4.13. Область стійкості
Для
перевірки, з якого боку від визначеного
останнього кордону знаходиться область
стійкості, необхідно вибрати точку на
площі, наприклад
,
.
При цих значеннях параметрів САК стійка,
отже, область стійкості розташована по
той бік цієї точки. Слід також зауважити,
що останній кордон має розрив при
.
4
.5.
Дослідження впливу параметрів корегуючої
ланки на якість САК
Проведемо
дослідження впливу параметрів корегуючої
ланки постійної часу T
та коефіцієнту передачі k
на якість регулювання САК. Для цього в
області стійкостіи замкнутої САК
виберемо дев'ять
точок з наступними поєднаннями значень
налаштування параметрів ПД – регулятора:
.
Коефіцієнти поліномів чисельника та знаменника передавальної функції САК встановлюємо по вираженням:
Значення параметрів корегуючої ланки відповіднь значений коефіцієнтів передавальних функцій замкнутою САК надані в табл. 2.
Виконаємо розрахунок перехідних характеристик для кожної передавальної функції. Перехідні характеристики для обраних точок значень параметрів корегуючої ланки показані на рис. 4.14 – 4.22 (графіки отримані в середовищі пакета прикладних програм MATLAB).
Для зручності аналізу якості САК отримані перехідні характеристики зведені на одному графіку (см. рис. 4.23).
h(t)
Рис. 4.14. Перехідна характеристика при T=1 и k=0
h(t)
Рис. 4.15. Перехідна характеристика при T=2 и k=0
h(t)
Рис. 4.16. Перехідна характеристика при T=3 и k=0
h(t)
h(t)
Рис. 4.17. Перехідна характеристика при T=1 и k=1
h(t)
Рис. 4.18. Перехідна характеристика при T=2 и k=1
h(t)
Рис. 4.19. Перехідна характеристика при T=3 и k=1
h(t)
Рис. 4.20. Перехідна характеристика при T=1 и k=2
t
h(t)
Рис. 4.21. Перехідна характеристика при T=2 и k=2
h(t)
Рис. 4.22. Перехідна характеристика при T=3 и k=2
Р
ис.
4.23. Перехідні характеристики для різних
значень параметрів корегуючої ланки
Таблиця 2
Значення параметрів корегуючої ланки , коефіцієнти передавальної функції та показники якості регулювання САК
Варіант |
с |
|
|
|
|
|
|
|
c |
% |
1 |
1 |
0 |
0,3 |
1,7 |
2,2 |
1 |
0,1 |
1 |
4,5 |
0 |
2 |
2 |
0 |
0,3 |
1,8 |
3,2 |
1 |
0,1 |
1 |
8,3 |
0 |
3 |
3 |
0 |
0,3 |
1,9 |
4,2 |
1 |
0,1 |
1 |
11,5 |
0 |
4 |
1 |
1 |
0,3 |
1,7 |
2,3 |
2 |
0,1 |
1 |
4,4 |
11 |
5 |
2 |
1 |
0,3 |
1,8 |
3,3 |
2 |
0,1 |
1 |
3,3 |
0 |
6 |
3 |
1 |
0,3 |
1,9 |
4,3 |
2 |
0,1 |
1 |
5,4 |
0 |
7 |
1 |
2 |
0,3 |
1,7 |
2,4 |
3 |
0,1 |
1 |
3,6 |
21 |
8 |
2 |
2 |
0,3 |
1,8 |
3,4 |
3 |
0,1 |
1 |
2,1 |
4 |
9 |
3 |
2 |
0,3 |
1,9 |
4,4 |
3 |
0,1 |
1 |
3,1 |
0 |
,
,
,
В усіх випадках САК є статичною. Цьому прийнято вважати, що перехідний процес завершиться, коли вихідний сигнал входить в зону ±0,05 від установленого значення.
Значення
тривалості перехідного процесу
(с)
та величини перерегулювання σ (%) для
кожної передавальної функції наведені
в табл. 2.
Аналіз
одержаних результатів показує, що
мінімальна тривалість перехідного
процесу в САК
=2,1с
досягається при значеннях постійної
часу і коефіцієнта передачі ПД- регулятора
T
= 2 і k
= 2. Враховуючи, що при цьому величина
перерегулювання σ = 4% менше звичайно
прийнятої максимально допустимої
величини 5%, слід вважати дане значення
параметрів корегуючої ланки T = 2 і k = 2
оптимальними. Точніше оптимальні
значення можна встановити більш
детальними дослідженнями.