1.3.3 Независимые события
Событие А называется независимым от события В, если ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Аналогично, событие В называется независимым от события А, если ………………………………………………………………………………...
Докажем, что если событие А не зависит от В, то и В не зависит от А:
…………………………………………………………………………….....………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........
Определение независимости двух событий может быть дано следующим образом: Два события A и B называются независимыми, если
…………………………………….
То есть вероятность совместного наступления двух независимых событий равна ..............................................................................................................
(При этом определении не требуется соблюдение условий P(А) 0, P(B) 0).
В примере 7: Независимы события: ………………………………...
Зависимы события: …………………………………...
Теорема. Если
события
и
независимы, то независимы будут и
следующие пары событий:
и
,
и
,
и
.
Докажем одно из этих утверждений: …………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
В основе независимости событий лежит их физическая независимость, состоящая в том, что множества факторов, влияющих на исход эксперимента и обусловливающих появление этих событий, не пересекаются или почти не пересекаются. Обычно, при решении практических задач, вопрос о том зависимы ли рассматриваемые события или нет, решается исходя из условий задачи, а не на основании приведенных определений.
События A1, A2,…, An называются независимыми в совокупности, если ……………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………
События A1, A2,…, An называются попарно независимыми если ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………
Независимость Попарная
в совокупности независимость
Теорема умножения вероятностей для независимых в совокупности событий A1, A2,…, An имеет вид
…………………………………………………………………………
Пример 9. Студенту необходимо сдать три экзамена. Первый из них он может сдать с вероятностью 0,9; второй – с вероятностью 0,8, а третий – с вероятностью 0,7. Полагая, что сдача каждого экзамена происходит независимо от остальных, определить вероятность того, что студент сумеет сдать не менее двух экзаменов из трех.
Проверочный тест 6
Предполагая
известными вероятности событий
и
,
укажите формулу для вычисления
вероятностей событий В
и С.
1. Е: производятся 2 выстрела по мишени. - попадание при первом выстреле; - попадание при втором выстреле;
В – хотя бы одно попадание в мишень; ………………………………..
С – два попадания в мишень……………………………………………..
2. Е: проверка качества выбранного изделия. - проверяемое изделие – первого сорта; - проверяемое изделие – второго сорта;
В – проверяемое изделие – не ниже второго сорта…………………….
3. Е: из урны, содержащей 3 белых и 4 черных шара, последовательно вынимаются 2 шара. - при первом вынимании появится белый шар; - при втором вынимании появится белый шар.
В – появление двух белых шаров ……………………………………
С – появление хотя бы одного белого шара ………………………..