Свойства операций над событиями

………………………………………………………………………………............

………………………………………………………………………………............

………………………………………………………………………………............

………………………………………………………………………………............

………………………………………………………………………………............

………………………………………………………………………………............

Проверочный тест 3

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

1.2 Вероятность. Методы определения вероятностей

Вероятностью события называется ……………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Вероятность события А обозначается .........; от латинского probabilitas

1.2.1 Аксиомы теории вероятностей

Сформулируем основное положение теории вероятностей. Пусть дано дискретное пространство элементарных исходов  с элементами ₁, ₂, ₃,… Полагаем, что каждому из элементарных исходов _i поставлена в соответствие некоторая неотрицательная числовая характеристика p_i = P(_i), называемая вероятностью этого исхода, причем

.....................................................................

По определению,…………………………………………………………... ….….……………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………

………………………………

Рассмотрим аксиомы, которым должны удовлетворять вероятности любых событий:

А1 (Аксиома неотрицательности)……………………………………… ………………………………………………………………………………………

…………………………………

А2 (Аксиома нормированности)…………………………………………. ..………………………………………………………………………………….

……………………

А3 (Аксиома аддитивности)…………………………………………...….. …………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………….

……….....................................................................................

(С аксиоматическим построением ТВ для непрерывных пространств элементарных исходов можно познакомиться, например, в пособии: Гаврилюк А.А., Старовойтов А.Н. Методы теории вероятностей. – Гомель: БелГУТ, 2010 с . 29-31.)

Основные следствия из аксиом теории вероятностей:

1. Вероятность невозможного события……………………………….

…………………

2. Вероятность любого случайного события ……………………… ………………………………………………………………………………………

…………………….

3. Вероятность события , противоположного событию A, равна:

.………………….

1.2.2 Классический метод определения вероятностей

Условия применения: Допустим, пространство элементарных исходов некоторого эксперимента состоит из конечного числа элементов ₁, ₂, …, _n, причём все исходы являются равноправными и в силу этого равновозможными, т. е. P(₁) = P(₂) = … = P(_n) = 1/n.

Предположим, некоторому событию А благоприятны m исходов. Тогда:

………………………………………………………………………….

Классический метод определения вероятностей: Если пространство элементарных исходов вероятностного эксперимента конечно и все исходы равновозможны, то .........................……………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………

где m – …………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………

n –…………………………………………………………………………...

Легко убедиться в том, что определенная таким образом вероятность удовлетворяет всем аксиомам теории вероятностей.

Пример 1. Вычислим вероятности рассмотренных в примере 1 событий А, В, С, D, Е:

Р(А) =……..; Р(В)= …….; Р(С)= ……, Р(D)=…; Р(Е)=….

Пример 3.  На сортировочную станцию прибыли вагоны из Орши, Могилева и Витебска. Предполагая равновозможными все варианты очередности разгрузки этих трех вагонов, найти вероятности событий:

A – {вагон из Орши будет разгружен первым};

C – {вагон из Могилева будет разгружен не ранее, чем вагон из Витебска}.

Проверочный тест 4

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10