2.6.8. Кут між двома площинами. Умови перпендикулярності й паралельності двох площин

Зведемо вектори і , перпендикулярні до даних площин, до спільного початку Р (Рис. 2.10)

N

( P

P₂

P₁

Рис. 2.10

Кут між і дорівнює куту між площинами Р₁ і Р₂, який утворюється при перетинанні останніх із площиною N , перпендикулярною до лінії перетину площин Р₁ і Р₂. Таким чином, кут між площинами дорівнює куту між їх нормальними векторами. Цей кут можна обчислити за допомогою скалярного добутку векторів і :

Звідси випливає умова перпендикулярності двох площин:

.

Умова паралельності двох площин випливає з умови паралельності (лінійної залежності) їх нормальних векторів. Оскільки нормальні вектори лінійно залежні, їхні відповідні координати пропорційні, тобто

.

2.6.9. Нормальне рівняння площини.

Нехай у системі координат задано деяку площину R, що не проходить через початок координат (Рис. 2.11).

z

n

P

O p M y

R

х

Рис. 2.11

Опустимо на площину R перпендикуляр OP із початку координат, нехай p –довжина перпендикуляра OP. У цьому разі за нормальний до площини R вектор можна взяти , де - орт вектора . Виберемо в площині R довільну точку і проведемо радіус-вектор цієї точки. Щоб скласти нормальне рівняння площини, скористаємося формулою проекції вектора на довільну вісь, у даному випадку - на нормаль. Зазначимо, що точка М площини R проектується на нормаль у точку Р.

Тоді .

Відповідно рівняння

(9)

описує площину R. Це рівняння називають нормальним рівнянням площини. Щоб звести загальне рівняння площини

(10)

до нормального вигляду, домножимо обидві його частини на деякий множник :

(11)

Вибираємо множник такий, щоб рівняння (11) мало вигляд (9). Тоді повинні виконуватися рівності .

Підносимо перші три рівності до квадрату й, додаючи їх, знаходимо . Звідси

.

Оскільки (довжина відрізку нормалі), то . Тому має знак протилежний знаку d.

Множник , що зводить рівняння (10) до нормального вигляду (9), називається нормувальним.

2.6.10. Відхилення точки від площини. Відстань точки до площини

Відхилення точки від площини R називатимемо величину напрямленого відрізку нормалі до площини, проведеної через точку (Рис. 2.12) і напрямленої так, як і нормаль , проведена з початку координат.

z

Q

p P

M y

O

R

x Рис. 2.12

Величини напрямлених відрізків на осях і пов’язані рівностями .

Звідси .

Проте .

Відповідно

.

Таким чином, для обчислення відхилення точки від площини R достатньо в ліву частину нормального рівняння цієї площини підставити координати точки . Очевидно, що , якщо точка і початок координат розташовані по різні боки від площини R , і – в протилежному разі .

Відстань від точки до площини R

.