2.3. Прямокутні координати в просторі

Три взаємно перпендикулярні координатні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок – точку О, утворюють прямокутну систему координат у просторі.

Точку О називають початком координат, осі Ох, Оу, Оz – осями координат (вісь Ох називають віссю абсцис, вісь Оу – віссю ординат, вісь Оz – віссю аплікат), а площини хОу, уОz, zОх – координатними площинами.

Для довільної точки М простору можна знайти її проекції М_х, М_у, М_z на координатні осі (М_х – на вісь Ох, М_у – на вісь Оу , М_z – на вісь Оz ). Числа х, у та z, якими вимірюються відрізки ОМ_х, ОМ_у, ОМ_z у вибраному масштабі, називають прямокутними координатами точки М у просторі; при цьому х називають абсцисою точки М, у – ординатою точки М, z – її аплікатою. Це записується так М(х;у;z).

Таким чином, у вибраній системі координат кожній точці М простору відповідає єдина впорядкована трійка чисел (х;у;z) – її прямокутні координати, й така відповідність є однозначною.

2.4. Поняття вектора

Багато фізичних величин (наприклад, маса і температура тіла, тиск, тощо) визначають шляхом задання деякого конкретного числа. Такі величини називають скалярними. У той самий час, наприклад, при переміщенні тіла потрібно знати не лише значення його швидкості, але й напрям руху. Такі величини називають векторними. Будь-яка пара точок А і В простору визначає напрямлений відрізок. Точка А – його початок, а точка В задає його кінець. Напрямлений відрізок у просторі називається вектором. Вектор із початком А і кінцем В позначають і зображують відрізком, на якому стрілкою вказують напрям від А до В. Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною (або модулем) і позначається . Якщо неістотно, які саме початок і кінець вектора, його позначають однією літерою, наприклад, або . Такі вектори називають вільними.

Вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Вектори і називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені та їх довжини рівні між собою.

Якщо , тоді такий вектор називається одиничним (або ортом).

Н апрями координатних осей Ох, Оу, Оz прямокутної системи координат Охуz визначають ортами відповідно (Рис. 2.4). упорядкована трійка ортів називається базисними векторами ( або базисом) прямокутної системи координат Охуz z

O у

х Рис. 2.4

Нехай М(х;у;z) – довільна точка простору. Розглянемо вектор , вектор, який починається у початку координат О і закінчується у точці М. Прямокутними координатами вектора називаються числа х, у, z. Це записується так .

Якщо А(х₁;у₁;z₁) і В(х₂;у₂;z₂) – довільні точки простору, то координати вектора визначаються такою впорядкованою трійкою чисел х₂-х₁, у₂-у₁, z₂-z₁. Це записується так .

Проекціями вектора на осі координат Ох, Оу, Оz називаються величини напрямлених відрізків ОМ_х, ОМ_у, ОМ_z на відповідних осях координат. Ці відрізки починаються у початку координат і закінчуються у точках М_х, М_у, М_z – проекціях точки М на осі Ох, Оу, Оz відповідно. Оскільки відрізки ОМ_х, ОМ_у, ОМ_z вимірюються числами х, у, z, то саме вони є проекціями вектора на координатні осі. Записується це так .

Якщо А(х₁;у₁;z₁) і В(х₂;у₂;z₂) – довільні точки простору, то проекції вектора на координатні осі визначаються так

Проекцію вектора на деяку вісь Ou можна визначити також за формулою

.

Тут φ – це кут між віссю Ou і вектором . Довжина (або модуль) вектора визначається формулою

.

Якщо вектор починається у початку координат, як наприклад, , то його довжина буде

,

де х, у, z – координати точки М.

Довжина вільного вектора визначається формулою

.

Вектор може бути єдиним чином розкладений за базисом (за теоремою) . Вектор , початок якого знаходиться у початку координат, а кінець в точці М(х;у;z) називають радіус-вектором точки М і позначають , або просто .