Розділ 2. Аналітична геометрія

2.1. Прямокутні координати на площині

Розглянемо довільну пряму. Виберемо на ній точку О – початок відліку. Тоді на прямій відносно точки О можна задати 2 взаємно протилежні напрямки – додатний і від’ємний. Додатний на рисунку позначають стрілкою. Візьмемо на цій прямій масштабну одиницю – відрізок, довжина якого береться за одиницю.

Пряму, на якій вибрано напрям, називають віссю. Пряму, на якій вибрано початок відліку, додатній напрям та масштабну одиницю, називають координатною віссю. Координатою точки на осі називають відстань від цієї точки до початку координат, що береться зі знаком “плюс”, якщо точка лежить на додатній півосі, й береться зі знаком “мінус”, якщо вона лежить на від’ємній півосі.

Розташування точки на осі повністю визначається її координатою. Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку на координатній осі, й така відповідність є взаємнооднозначною.

Положення точки на площині визначається двома координатами. Побудуємо на площині 2 взаємно перпендикулярні координатні осі Ох і Оу так, щоб точка їх перетину О була для кожної з них початком відліку.

Осі Ох і Оу називають осями координат, а точку О – початком координат. Для вимірювання відрізків на осях координат вибирають деяку одиницю масштабу. На координатних осях задають додатний напрям так, щоб додатний промінь Ох після повороту на 90° проти годинникової стрілки збігся з додатним променем Оу. Осі координат Ох і Оу (з визначеними додатними напрямами та одиницею масштабу) утворюють прямокутну систему координат на площині.

Нехай точка М – довільна точка площини. Опустимо з неї перпендикуляри на координатні осі. Нехай М_х і М_у – точки їх перетину з осями Ох і Оу. Позначимо через х координату точки М_х, а через у – координату точки М_у (Рис. 1.1)

у

М _у М

О М_х х

Рис. 1.1.

Числа х та у називають прямокутними координатами точки М, координату х точки М_х – абсцисою точки М, а координату у точки М_у – ординатою точки М. Вісь Ох називають віссю абсцис, вісь Оу – віссю ординат. Записується це так: М(х;у).

Положення будь-якої точки на площині однозначно визначається її координатами й навпаки: у вибраній системі координат кожній точці площини відповідає цілком певна пара чисел – її координати х та у – і навпаки, будь якій парі чисел х та у відповідає певна точка площини, координати якої є дані числа.

2.2. Полярна система координат на площині

Положення точки на площині можна визначити іншим способом. Розглянемо полярну систему координат.

Полярна система координат на площині визначається точкою О, яку називають полюсом, променем Ох (півпрямою, що виходить із точки О), який звуть полярною віссю, та одиницею масштабу (Рис. 2.2).

М

ρ

φ

O x

Рис. 2.2.

Додатними поворотами в площині навколо точки О вважатимемо повороти у напрямі проти годинникової стрілки. Положення довільної точки М площини у полярній системі координат цілком визначається відстанню точки М від полюса О й кутом , тобто кутом, відліченим від полярної осі до променя ОМ у зазначеному напрямі. (Рис. 2.2)

Числа ρ і φ називають полярними координатами точки М (відносно заданої системи): ρ – полярним радіусом, а φ – полярним кутом. Позначають це так М(ρ;φ).

Введемо формули перетворення координат, коли полюс полярної системи збігається з початком прямокутної системи координат, полярна вісь – з додатною піввісссю абсцис (Рис. 2.3),

у

у М(х;у)

ρ

φ

х х

Рис. 2.3.

а масштабна одиниця однакова в обох системах; кут між полярною віссю та віссю ординат дорівнює .

Нехай х та у – декартові координати точки М, а ρ і φ – її полярні координати (див. Рис. 2.3).

При будь-якому положенні точки М на площині маємо

Ці формули дають змогу при відомих полярних координатах точки знайти прямокутні координати цієї точки. З них можна дістати й обернені формули, які виражають полярні координати через прямокутні, а саме:

;

.